Precálculo Ejemplos

${(\frac{1}{4})}^{x} = 75$

Paso 1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln ({(\frac{1}{4})}^{x}) = \ln (75)$

Paso 2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Expande $\ln ({(\frac{1}{4})}^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (\frac{1}{4}) = \ln (75)$

Paso 2.2

Reescribe $\ln (\frac{1}{4})$ como $\ln (1) - \ln (4)$ .

$x (\ln (1) - \ln (4)) = \ln (75)$

Paso 2.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$x (0 - \ln (4)) = \ln (75)$

Paso 2.4

Reescribe $\ln (4)$ como $\ln (2^{2})$ .

$x (0 - \ln (2^{2})) = \ln (75)$

Paso 2.5

Expande $\ln (2^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$x (0 - (2 \ln (2))) = \ln (75)$

Paso 2.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x (0 - 2 \ln (2)) = \ln (75)$

Paso 2.7

Resta $2 \ln (2)$ de $0$ .

$x (- 2 \ln (2)) = \ln (75)$

Paso 3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Reordena los factores en $x (- 2 \ln (2))$ .

$- 2 x \ln (2) = \ln (75)$

Paso 4

Divide cada término en $- 2 x \ln (2) = \ln (75)$ por $- 2 \ln (2)$ y simplifica.

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Paso 4.1

Divide cada término en $- 2 x \ln (2) = \ln (75)$ por $- 2 \ln (2)$ .

$\frac{- 2 x \ln (2)}{- 2 \ln (2)} = \frac{\ln (75)}{- 2 \ln (2)}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x \ln (2)}{- 2 \ln (2)} = \frac{\ln (75)}{- 2 \ln (2)}$

Paso 4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (75)}{- 2 \ln (2)}$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común de $\ln (2)$ .

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (75)}{- 2 \ln (2)}$

Paso 4.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (75)}{- 2 \ln (2)}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{\ln (75)}{2 \ln (2)}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{\ln (75)}{2 \ln (2)}$

Forma decimal:

$x = - 3.11440934 \dots$