Precálculo Ejemplos

$y^{5} - 18 y^{4} + 6 y^{3} = 0$

Paso 1

Factoriza $y^{3}$ de $y^{5} - 18 y^{4} + 6 y^{3}$ .

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Paso 1.1

Factoriza $y^{3}$ de $y^{5}$ .

$y^{3} y^{2} - 18 y^{4} + 6 y^{3} = 0$

Paso 1.2

Factoriza $y^{3}$ de $- 18 y^{4}$ .

$y^{3} y^{2} + y^{3} (- 18 y) + 6 y^{3} = 0$

Paso 1.3

Factoriza $y^{3}$ de $6 y^{3}$ .

$y^{3} y^{2} + y^{3} (- 18 y) + y^{3} \cdot 6 = 0$

Paso 1.4

Factoriza $y^{3}$ de $y^{3} y^{2} + y^{3} (- 18 y)$ .

$y^{3} (y^{2} - 18 y) + y^{3} \cdot 6 = 0$

Paso 1.5

Factoriza $y^{3}$ de $y^{3} (y^{2} - 18 y) + y^{3} \cdot 6$ .

$y^{3} (y^{2} - 18 y + 6) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$y^{3} = 0$

$y^{2} - 18 y + 6 = 0$

Paso 3

Establece $y^{3}$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Establece $y^{3}$ igual a $0$ .

$y^{3} = 0$

Paso 3.2

Resuelve $y^{3} = 0$ en $y$ .

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Paso 3.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{0}$

Paso 3.2.2

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 3.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 3.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$y = 0$

Paso 4

Establece $y^{2} - 18 y + 6$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 4.1

Establece $y^{2} - 18 y + 6$ igual a $0$ .

$y^{2} - 18 y + 6 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $y^{2} - 18 y + 6 = 0$ en $y$ .

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Paso 4.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 18$ y $c = 6$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3

Simplifica.

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Paso 4.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.3.1.1

Eleva $- 18$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

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Paso 4.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $6$ .

$y = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 24}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.3

Resta $24$ de $324$ .

$y = \frac{18 \pm \sqrt{300}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.4

Reescribe $300$ como $10^{2} \cdot 3$ .

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Paso 4.2.3.1.4.1

Factoriza $100$ de $300$ .

$y = \frac{18 \pm \sqrt{100 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.4.2

Reescribe $100$ como $10^{2}$ .

$y = \frac{18 \pm \sqrt{10^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{18 \pm 10 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{18 \pm 10 \sqrt{3}}{2}$

Paso 4.2.3.3

Simplifica $\frac{18 \pm 10 \sqrt{3}}{2}$ .

$y = 9 \pm 5 \sqrt{3}$

Paso 4.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = 9 + 5 \sqrt{3}, 9 - 5 \sqrt{3}$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $y^{3} (y^{2} - 18 y + 6) = 0$ verdadera.

$y = 0, 9 + 5 \sqrt{3}, 9 - 5 \sqrt{3}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$y = 0, 9 + 5 \sqrt{3}, 9 - 5 \sqrt{3}$

Forma decimal:

$y = 0, 17.66025403 \dots, 0.33974596 \dots$