Precálculo Ejemplos

$\log (3 x + 7) + \log (x - 2) = 1$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((3 x + 7) (x - 2)) = 1$

Paso 1.2

Expande $(3 x + 7) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (3 x (x - 2) + 7 (x - 2)) = 1$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (3 x \cdot x + 3 x \cdot - 2 + 7 (x - 2)) = 1$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (3 x \cdot x + 3 x \cdot - 2 + 7 x + 7 \cdot - 2) = 1$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.1.1.1

Mueve $x$ .

$\log (3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 2 + 7 x + 7 \cdot - 2) = 1$

Paso 1.3.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\log (3 x^{2} + 3 x \cdot - 2 + 7 x + 7 \cdot - 2) = 1$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\log (3 x^{2} - 6 x + 7 x + 7 \cdot - 2) = 1$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $7$ por $- 2$ .

$\log (3 x^{2} - 6 x + 7 x - 14) = 1$

Paso 1.3.2

Suma $- 6 x$ y $7 x$ .

$\log (3 x^{2} + x - 14) = 1$

Paso 2

Reescribe $\log (3 x^{2} + x - 14) = 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{1} = 3 x^{2} + x - 14$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $3 x^{2} + x - 14 = 10^{1}$ .

$3 x^{2} + x - 14 = 10$

Paso 3.2

Resta $10$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} + x - 14 - 10 = 0$

Paso 3.3

Resta $10$ de $- 14$ .

$3 x^{2} + x - 24 = 0$

Paso 3.4

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.4.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 24 = - 72$ y cuya suma es $b = 1$ .

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Paso 3.4.1.1

Multiplica por $1$ .

$3 x^{2} + 1 x - 24 = 0$

Paso 3.4.1.2

Reescribe $1$ como $- 8$ más $9$

$3 x^{2} + (- 8 + 9) x - 24 = 0$

Paso 3.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} - 8 x + 9 x - 24 = 0$

Paso 3.4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(3 x^{2} - 8 x) + 9 x - 24 = 0$

Paso 3.4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (3 x - 8) + 3 (3 x - 8) = 0$

Paso 3.4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x - 8$ .

$(3 x - 8) (x + 3) = 0$

Paso 3.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x - 8 = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 3.6

Establece $3 x - 8$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.6.1

Establece $3 x - 8$ igual a $0$ .

$3 x - 8 = 0$

Paso 3.6.2

Resuelve $3 x - 8 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.6.2.1

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 8$

Paso 3.6.2.2

Divide cada término en $3 x = 8$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.6.2.2.1

Divide cada término en $3 x = 8$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

Paso 3.6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

Paso 3.6.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{8}{3}$

Paso 3.7

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.7.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 3.7.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 3.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 x - 8) (x + 3) = 0$ verdadera.

$x = \frac{8}{3}, - 3$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\log (3 x + 7) + \log (x - 2) = 1$ sea verdadera.

$x = \frac{8}{3}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{8}{3}$

Forma decimal:

$x = 2.\overline{6}$

Forma de número mixto:

$x = 2 \frac{2}{3}$