Precálculo Ejemplos

$\log (x - 2) + \log (x + 5) = 2 \log (3)$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x - 2) (x + 5)) = 2 \log (3)$

Paso 1.2

Expande $(x - 2) (x + 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (x (x + 5) - 2 (x + 5)) = 2 \log (3)$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (x \cdot x + x \cdot 5 - 2 (x + 5)) = 2 \log (3)$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (x \cdot x + x \cdot 5 - 2 x - 2 \cdot 5) = 2 \log (3)$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\log (x^{2} + x \cdot 5 - 2 x - 2 \cdot 5) = 2 \log (3)$

Paso 1.3.1.2

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$\log (x^{2} + 5 \cdot x - 2 x - 2 \cdot 5) = 2 \log (3)$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$\log (x^{2} + 5 x - 2 x - 10) = 2 \log (3)$

Paso 1.3.2

Resta $2 x$ de $5 x$ .

$\log (x^{2} + 3 x - 10) = 2 \log (3)$

Paso 2

Simplifica $2 \log (3)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\log (x^{2} + 3 x - 10) = \log (3^{2})$

Paso 3

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$x^{2} + 3 x - 10 = 3^{2}$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} + 3 x - 10 = 9$

Paso 4.2

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

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Paso 4.2.1

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 3 x - 10 - 9 = 0$

Paso 4.2.2

Resta $9$ de $- 10$ .

$x^{2} + 3 x - 19 = 0$

Paso 4.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.4

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 3$ y $c = - 19$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 19)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5

Simplifica.

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Paso 4.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 19}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 19$ .

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Paso 4.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 19}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 19$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 76}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.3

Suma $9$ y $76$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{85}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{85}}{2}$

Paso 4.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{3 - \sqrt{85}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{85}}{2}$

Paso 5

Excluye las soluciones que no hagan que $\log (x - 2) + \log (x + 5) = 2 \log (3)$ sea verdadera.

$x = - \frac{3 - \sqrt{85}}{2}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{3 - \sqrt{85}}{2}$

Forma decimal:

$x = 3.10977222 \dots$