Precálculo Ejemplos

$\ln (x - 2) - \ln (x + 2) = \ln (x - 1) - \ln (2 x + 1)$

Paso 1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x - 2}{x + 2}) = \ln (x - 1) - \ln (2 x + 1)$

Paso 2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x - 2}{x + 2}) = \ln (\frac{x - 1}{2 x + 1})$

Paso 3

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$\frac{x - 2}{x + 2} = \frac{x - 1}{2 x + 1}$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción. Establece esto igual al producto del denominador de la primera fracción y al numerador de la segunda fracción.

$(x - 2) (2 x + 1) = (x + 2) (x - 1)$

Paso 4.2

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 4.2.1

Simplifica $(x - 2) (2 x + 1)$ .

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Paso 4.2.1.1

Reescribe.

$0 + 0 + (x - 2) (2 x + 1) = (x + 2) (x - 1)$

Paso 4.2.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$(x - 2) (2 x + 1) = (x + 2) (x - 1)$

Paso 4.2.1.3

Expande $(x - 2) (2 x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.2.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1) = (x + 2) (x - 1)$

Paso 4.2.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x (2 x) + x \cdot 1 - 2 (2 x + 1) = (x + 2) (x - 1)$

Paso 4.2.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x (2 x) + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1 = (x + 2) (x - 1)$

Paso 4.2.1.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.2.1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.4.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 x \cdot x + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1 = (x + 2) (x - 1)$

Paso 4.2.1.4.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.1.4.1.2.1

Mueve $x$ .

$2 (x \cdot x) + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1 = (x + 2) (x - 1)$

Paso 4.2.1.4.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 x^{2} + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1 = (x + 2) (x - 1)$

Paso 4.2.1.4.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$2 x^{2} + x - 2 (2 x) - 2 \cdot 1 = (x + 2) (x - 1)$

Paso 4.2.1.4.1.4

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$2 x^{2} + x - 4 x - 2 \cdot 1 = (x + 2) (x - 1)$

Paso 4.2.1.4.1.5

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$2 x^{2} + x - 4 x - 2 = (x + 2) (x - 1)$

Paso 4.2.1.4.2

Resta $4 x$ de $x$ .

$2 x^{2} - 3 x - 2 = (x + 2) (x - 1)$

Paso 4.2.2

Simplifica $(x + 2) (x - 1)$ .

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Paso 4.2.2.1

Expande $(x + 2) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x (x - 1) + 2 (x - 1)$

Paso 4.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x \cdot x + x \cdot - 1 + 2 (x - 1)$

Paso 4.2.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x \cdot x + x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1$

Paso 4.2.2.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x^{2} + x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1$

Paso 4.2.2.2.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x^{2} - 1 \cdot x + 2 x + 2 \cdot - 1$

Paso 4.2.2.2.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x^{2} - x + 2 x + 2 \cdot - 1$

Paso 4.2.2.2.1.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x^{2} - x + 2 x - 2$

Paso 4.2.2.2.2

Suma $- x$ y $2 x$ .

$2 x^{2} - 3 x - 2 = x^{2} + x - 2$

Paso 4.2.3

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.2.3.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} - 3 x - 2 - x^{2} = x - 2$

Paso 4.2.3.2

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} - 3 x - 2 - x^{2} - x = - 2$

Paso 4.2.3.3

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$x^{2} - 3 x - 2 - x = - 2$

Paso 4.2.3.4

Resta $x$ de $- 3 x$ .

$x^{2} - 4 x - 2 = - 2$

Paso 4.2.4

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 4 x - 2 + 2 = 0$

Paso 4.2.5

Combina los términos opuestos en $x^{2} - 4 x - 2 + 2$ .

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Paso 4.2.5.1

Suma $- 2$ y $2$ .

$x^{2} - 4 x + 0 = 0$

Paso 4.2.5.2

Suma $x^{2} - 4 x$ y $0$ .

$x^{2} - 4 x = 0$

Paso 4.2.6

Factoriza $x$ de $x^{2} - 4 x$ .

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Paso 4.2.6.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x - 4 x = 0$

Paso 4.2.6.2

Factoriza $x$ de $- 4 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 4 = 0$

Paso 4.2.6.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 4$ .

$x (x - 4) = 0$

Paso 4.2.7

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Paso 4.2.8

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 4.2.9

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.2.9.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 4.2.9.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 4.2.10

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x - 4) = 0$ verdadera.

$x = 0, 4$

Paso 5

Excluye las soluciones que no hagan que $\ln (x - 2) - \ln (x + 2) = \ln (x - 1) - \ln (2 x + 1)$ sea verdadera.

$x = 4$