Precálculo Ejemplos

$\ln (x) + \ln (x + 6) = \frac{1}{2} \cdot \ln (9)$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x (x + 6)) = \frac{1}{2} \cdot \ln (9)$

Paso 1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 6) = \frac{1}{2} \cdot \ln (9)$

Paso 1.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot 6) = \frac{1}{2} \cdot \ln (9)$

Paso 1.3.2

Mueve $6$ a la izquierda de $x$ .

$\ln (x^{2} + 6 x) = \frac{1}{2} \cdot \ln (9)$

Paso 2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (9)$ .

$\ln (x^{2} + 6 x) = \frac{\ln (9)}{2}$

Paso 2.2

Reescribe $\ln (9)$ como $\ln (3^{2})$ .

$\ln (x^{2} + 6 x) = \frac{\ln (3^{2})}{2}$

Paso 2.3

Expande $\ln (3^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$\ln (x^{2} + 6 x) = \frac{2 \ln (3)}{2}$

Paso 2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.4.1

Cancela el factor común.

$\ln (x^{2} + 6 x) = \frac{2 \ln (3)}{2}$

Paso 2.4.2

Divide $\ln (3)$ por $1$ .

$\ln (x^{2} + 6 x) = \ln (3)$

Paso 3

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$x^{2} + 6 x = 3$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 6 x - 3 = 0$

Paso 4.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 6$ y $c = - 3$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4

Simplifica.

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Paso 4.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.4.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 3$ .

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Paso 4.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.1.3

Suma $36$ y $12$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.1.4

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

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Paso 4.4.1.4.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.1.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$

Paso 4.4.3

Simplifica $\frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 3 \pm 2 \sqrt{3}$

Paso 4.5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - 3 + 2 \sqrt{3}, - 3 - 2 \sqrt{3}$

Paso 5

Excluye las soluciones que no hagan que $\ln (x) + \ln (x + 6) = \frac{1}{2} \cdot \ln (9)$ sea verdadera.

$x = - 3 + 2 \sqrt{3}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - 3 + 2 \sqrt{3}$

Forma decimal:

$x = 0.46410161 \dots$