Precálculo Ejemplos

$\csc (x) = \sqrt{2}$

Paso 1

Calcula la inversa de la cosecante de ambos lados de la ecuación para extraer

$x$ del interior de la cosecante.

$x = arccsc (\sqrt{2})$

Paso 2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1

El valor exacto de

$arccsc (\sqrt{2})$ es

$\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Paso 3

La cosecante es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de

$π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{4}$

Paso 4

Simplifica

$π - \frac{π}{4}$ .

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Paso 4.1

Para escribir

$π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

$\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 4.2

Combina fracciones.

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Paso 4.2.1

Combina

$π$ y

$\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Paso 4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.1

Mueve

$4$ a la izquierda de

$π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Paso 4.3.2

Resta

$π$ de

$4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 5

Obtén el período de

$\csc (x)$ .

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Paso 5.1

El período de la función puede calcularse mediante

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 5.2

Reemplaza

$b$ con

$1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre

$0$ y

$1$ es

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 5.4

Divide

$2 π$ por

$1$ .

$2 π$

Paso 6

El período de la función

$\csc (x)$ es

$2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada

$2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero

$n$