Precálculo Ejemplos

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$\frac{x}{2} = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1

El valor exacto de $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ es $\frac{π}{4}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4}$

Paso 3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

Paso 4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

Paso 4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 2 \frac{π}{4}$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Paso 4.2.1.2

Cancela el factor común.

$x = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Paso 4.2.1.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{π}{2}$

Paso 5

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{4}$

Paso 6

Resuelve $x$

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Paso 6.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{4})$

Paso 6.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 6.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{4})$

Paso 6.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 2 (2 π - \frac{π}{4})$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.2.1

Simplifica $2 (2 π - \frac{π}{4})$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 (2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4})$

Paso 6.2.2.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 6.2.2.1.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4})$

Paso 6.2.2.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Paso 6.2.2.1.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.2.1.2.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = 2 \frac{2 π \cdot 4 - π}{2 (2)}$

Paso 6.2.2.1.2.3.2

Cancela el factor común.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 4 - π}{2 \cdot 2}$

Paso 6.2.2.1.2.3.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{2}$

Paso 6.2.2.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.2.1.3.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{2}$

Paso 6.2.2.1.3.2

Resta $π$ de $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{2}$

Paso 7

Obtén el período de $\cos (\frac{x}{2})$ .

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Paso 7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 7.2

Reemplaza $b$ con $\frac{1}{2}$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Paso 7.3

$\frac{1}{2}$ es aproximadamente $0.5$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Paso 7.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \cdot 2$

Paso 7.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 π$

Paso 8

El período de la función $\cos (\frac{x}{2})$ es $4 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $4 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 4 π n, \frac{7 π}{2} + 4 π n$ , para cualquier número entero $n$