Precálculo Ejemplos

$\sin (\frac{x}{2} - \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$

Paso 1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \arcsin (\frac{1}{2})$

Paso 2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1

El valor exacto de $\arcsin (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{6}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \frac{π}{6}$

Paso 3

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Suma $\frac{π}{4}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{x}{2} = \frac{π}{6} + \frac{π}{4}$

Paso 3.2

Para escribir $\frac{π}{6}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

Paso 3.3

Para escribir $\frac{π}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 3.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $12$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.4.1

Multiplica $\frac{π}{6}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 3.4.2

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 2}{12} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 3.4.3

Multiplica $\frac{π}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 2}{12} + \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Paso 3.4.4

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 2}{12} + \frac{π \cdot 3}{12}$

Paso 3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 2 + π \cdot 3}{12}$

Paso 3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 \cdot π + π \cdot 3}{12}$

Paso 3.6.2

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 π + 3 \cdot π}{12}$

Paso 3.6.3

Suma $2 π$ y $3 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{12}$

Paso 4

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{12}$

Paso 5

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{12}$

Paso 5.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 2 \frac{5 π}{12}$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$x = 2 \frac{5 π}{2 (6)}$

Paso 5.2.1.2

Cancela el factor común.

$x = 2 \frac{5 π}{2 \cdot 6}$

Paso 5.2.1.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{5 π}{6}$

Paso 6

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = π - \frac{π}{6}$

Paso 7

Resuelve $x$

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Paso 7.1

Simplifica $π - \frac{π}{6}$ .

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Paso 7.1.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 7.1.2

Combina fracciones.

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Paso 7.1.2.1

Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 7.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 7.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.3.1

Mueve $6$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Paso 7.1.3.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{6}$

Paso 7.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 7.2.1

Suma $\frac{π}{4}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{6} + \frac{π}{4}$

Paso 7.2.2

Para escribir $\frac{5 π}{6}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

Paso 7.2.3

Para escribir $\frac{π}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 7.2.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $12$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.2.4.1

Multiplica $\frac{5 π}{6}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 7.2.4.2

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 2}{12} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 7.2.4.3

Multiplica $\frac{π}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 2}{12} + \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Paso 7.2.4.4

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 2}{12} + \frac{π \cdot 3}{12}$

Paso 7.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 2 + π \cdot 3}{12}$

Paso 7.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.6.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{x}{2} = \frac{10 π + π \cdot 3}{12}$

Paso 7.2.6.2

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{10 π + 3 \cdot π}{12}$

Paso 7.2.6.3

Suma $10 π$ y $3 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{13 π}{12}$

Paso 7.3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{13 π}{12}$

Paso 7.4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 7.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.4.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{13 π}{12}$

Paso 7.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 2 \frac{13 π}{12}$

Paso 7.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.4.2.1.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$x = 2 \frac{13 π}{2 (6)}$

Paso 7.4.2.1.2

Cancela el factor común.

$x = 2 \frac{13 π}{2 \cdot 6}$

Paso 7.4.2.1.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{13 π}{6}$

Paso 8

Obtén el período de $\sin (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ .

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Paso 8.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 8.2

Reemplaza $b$ con $\frac{1}{2}$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Paso 8.3

$\frac{1}{2}$ es aproximadamente $0.5$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Paso 8.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \cdot 2$

Paso 8.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 π$

Paso 9

El período de la función $\sin (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ es $4 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $4 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{5 π}{6} + 4 π n, \frac{13 π}{6} + 4 π n$ , para cualquier número entero $n$