Precálculo Ejemplos

$\sin (3 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$3 x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1

El valor exacto de $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ es $\frac{π}{4}$ .

$3 x = \frac{π}{4}$

Paso 3

Divide cada término en $3 x = \frac{π}{4}$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.1

Divide cada término en $3 x = \frac{π}{4}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Paso 3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 3.3.2

Multiplica $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 3.3.2.1

Multiplica $\frac{π}{4}$ por $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 3}$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$x = \frac{π}{12}$

Paso 4

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$3 x = π - \frac{π}{4}$

Paso 5

Resuelve $x$

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Paso 5.1

Simplifica.

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Paso 5.1.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$3 x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 5.1.2

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 5.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Paso 5.1.4

Resta $π$ de $π \cdot 4$ .

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Paso 5.1.4.1

Reordena $π$ y $4$ .

$3 x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Paso 5.1.4.2

Resta $π$ de $4 \cdot π$ .

$3 x = \frac{3 \cdot π}{4}$

Paso 5.2

Divide cada término en $3 x = \frac{3 \cdot π}{4}$ por $3$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $3 x = \frac{3 \cdot π}{4}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 \cdot π}{4}}{3}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 \cdot π}{4}}{3}$

Paso 5.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{3 \cdot π}{4}}{3}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{3 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 5.2.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.3.2.1

Factoriza $3$ de $3 \cdot π$ .

$x = \frac{3 (π)}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 5.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 5.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{π}{4}$

Paso 6

Obtén el período de $\sin (3 x)$ .

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Paso 6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 6.2

Reemplaza $b$ con $3$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Paso 6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $3$ es $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Paso 7

El período de la función $\sin (3 x)$ es $\frac{2 π}{3}$ , por lo que los valores se repetirán cada $\frac{2 π}{3}$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{12} + \frac{2 π n}{3}, \frac{π}{4} + \frac{2 π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$