Precálculo Ejemplos

$\sin (x) \cos (x) = \frac{1}{4}$

Paso 1

Multiplica cada término en $\sin (x) \cos (x) = \frac{1}{4}$ por $2$ para eliminar las fracciones.

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Paso 1.1

Multiplica cada término en $\sin (x) \cos (x) = \frac{1}{4}$ por $2$ .

$\sin (x) \cos (x) \cdot 2 = \frac{1}{4} \cdot 2$

Paso 1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.1

Reordena $\sin (x) \cos (x)$ y $2$ .

$2 \cdot (\sin (x) \cos (x)) = \frac{1}{4} \cdot 2$

Paso 1.2.2

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$\sin (2 x) = \frac{1}{4} \cdot 2$

Paso 1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\sin (2 x) = \frac{1}{2 (2)} \cdot 2$

Paso 1.3.1.2

Cancela el factor común.

$\sin (2 x) = \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2$

Paso 1.3.1.3

Reescribe la expresión.

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$

Paso 2

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$2 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Paso 3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1

El valor exacto de $\arcsin (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{6}$ .

$2 x = \frac{π}{6}$

Paso 4

Divide cada término en $2 x = \frac{π}{6}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.1

Divide cada término en $2 x = \frac{π}{6}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Paso 4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 4.3.2

Multiplica $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 4.3.2.1

Multiplica $\frac{π}{6}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 2}$

Paso 4.3.2.2

Multiplica $6$ por $2$ .

$x = \frac{π}{12}$

Paso 5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$2 x = π - \frac{π}{6}$

Paso 6

Resuelve $x$

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Paso 6.1

Simplifica.

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Paso 6.1.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 6.1.2

Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 6.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 6.1.4

Resta $π$ de $π \cdot 6$ .

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Paso 6.1.4.1

Reordena $π$ y $6$ .

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Paso 6.1.4.2

Resta $π$ de $6 \cdot π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Paso 6.2

Divide cada término en $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 6.2.1

Divide cada término en $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Paso 6.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Paso 6.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 6.2.3.2

Multiplica $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 6.2.3.2.1

Multiplica $\frac{5 π}{6}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Paso 6.2.3.2.2

Multiplica $6$ por $2$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Paso 7

Obtén el período de $\sin (2 x)$ .

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Paso 7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 7.2

Reemplaza $b$ con $2$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Paso 7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Paso 7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 π}{2}$

Paso 7.4.2

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 8

El período de la función $\sin (2 x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ , para cualquier número entero $n$