Precálculo Ejemplos

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 1

Usa la definición de seno para obtener los lados conocidos del triángulo rectángulo del círculo unitario. El cuadrante determina el signo en cada uno de los valores.

$\sin (x) = \frac{opuesto}{hipotenusa}$

Paso 2

Obtén el lado adyacente del triángulo del círculo unitario. Dado que se conocen la hipotenusa y los lados opuestos, usa el teorema de Pitágoras para encontrar el lado restante.

$Adyacente = \sqrt{{hipotenusa}^{2} - {opuesto}^{2}}$

Paso 3

Reemplaza los valores conocidos en la ecuación.

$Adyacente = \sqrt{{(2)}^{2} - {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 4

Simplifica dentro del radical.

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Paso 4.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

Adyacente $= \sqrt{4 - {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 4.2

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{3}$ .

Adyacente $= \sqrt{4 - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2})}$

Paso 4.3

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.1

Mueve ${(- 1)}^{2}$ .

Adyacente $= \sqrt{4 + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 {\sqrt{3}}^{2})}$

Paso 4.3.2

Multiplica ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

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Paso 4.3.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

Adyacente $= \sqrt{4 + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) {\sqrt{3}}^{2})}$

Paso 4.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

Adyacente $= \sqrt{4 + {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 4.3.3

Suma $2$ y $1$ .

Adyacente $= \sqrt{4 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 4.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

Adyacente $= \sqrt{4 - {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 4.5

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 4.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

Adyacente $= \sqrt{4 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Adyacente $= \sqrt{4 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

Adyacente $= \sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.5.4.1

Cancela el factor común.

Adyacente $= \sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.5.4.2

Reescribe la expresión.

Adyacente $= \sqrt{4 - 3}$

Paso 4.5.5

Evalúa el exponente.

Adyacente $= \sqrt{4 - 1 \cdot 3}$

Paso 4.6

Multiplica $- 1$ por $3$ .

Adyacente $= \sqrt{4 - 3}$

Paso 4.7

Resta $3$ de $4$ .

Adyacente $= \sqrt{1}$

Paso 4.8

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

Adyacente $= 1$

Paso 5

Obtén el valor del coseno.

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Paso 5.1

Usa la definición de coseno para obtener el valor de $\cos (x)$ .

$\cos (x) = \frac{adj}{hyp}$

Paso 5.2

Sustituye los valores conocidos.

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Paso 6

Obtén el valor de la tangente.

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Paso 6.1

Usa la definición de tangente para obtener el valor de $\tan (x)$ .

$\tan (x) = \frac{opp}{adj}$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos.

$\tan (x) = \frac{- \sqrt{3}}{1}$

Paso 6.3

Divide $- \sqrt{3}$ por $1$ .

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

Paso 7

Obtén el valor de la cotangente.

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Paso 7.1

Usa la definición de cotangente para obtener el valor de $\cot (x)$ .

$\cot (x) = \frac{adj}{opp}$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos.

$\cot (x) = \frac{1}{- \sqrt{3}}$

Paso 7.3

Simplifica el valor de $\cot (x)$ .

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Paso 7.3.1

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 7.3.1.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\cot (x) = \frac{- 1 \cdot - 1}{- \sqrt{3}}$

Paso 7.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cot (x) = - \frac{1}{\sqrt{3}}$

Paso 7.3.2

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (x) = - (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Paso 7.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 7.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 7.3.3.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 7.3.3.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 7.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 7.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 7.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 7.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 7.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 7.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 7.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 8

Obtén el valor de la secante.

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Paso 8.1

Usa la definición de secante para obtener el valor de $\sec (x)$ .

$\sec (x) = \frac{hyp}{adj}$

Paso 8.2

Sustituye los valores conocidos.

$\sec (x) = \frac{2}{1}$

Paso 8.3

Divide $2$ por $1$ .

$\sec (x) = 2$

Paso 9

Obtén el valor de la cosecante.

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Paso 9.1

Usa la definición de cosecante para obtener el valor de $\csc (x)$ .

$\csc (x) = \frac{hyp}{opp}$

Paso 9.2

Sustituye los valores conocidos.

$\csc (x) = \frac{2}{- \sqrt{3}}$

Paso 9.3

Simplifica el valor de $\csc (x)$ .

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Paso 9.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\csc (x) = - \frac{2}{\sqrt{3}}$

Paso 9.3.2

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = - (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Paso 9.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 9.3.3.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 9.3.3.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 9.3.3.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 9.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 9.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 9.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 9.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 9.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 9.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 9.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 10

Esta es la solución de cada valor trigonométrico.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\sec (x) = 2$

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$