Precálculo Ejemplos

$2 x^{3} - 9 x^{2} - 6 x + 5$

Paso 1

Factoriza $2 x^{3} - 9 x^{2} - 6 x + 5$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 2$

Paso 1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 5, \pm 2.5$

Paso 1.3

Sustituye $- 1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 1.3.1

Sustituye $- 1$ en el polinomio.

$2 {(- 1)}^{3} - 9 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 5$

Paso 1.3.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$2 \cdot - 1 - 9 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 5$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 - 9 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 5$

Paso 1.3.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- 2 - 9 \cdot 1 - 6 \cdot - 1 + 5$

Paso 1.3.5

Multiplica $- 9$ por $1$ .

$- 2 - 9 - 6 \cdot - 1 + 5$

Paso 1.3.6

Resta $9$ de $- 2$ .

$- 11 - 6 \cdot - 1 + 5$

Paso 1.3.7

Multiplica $- 6$ por $- 1$ .

$- 11 + 6 + 5$

Paso 1.3.8

Suma $- 11$ y $6$ .

$- 5 + 5$

Paso 1.3.9

Suma $- 5$ y $5$ .

$0$

Paso 1.4

Como $- 1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{2 x^{3} - 9 x^{2} - 6 x + 5}{x + 1}$

Paso 1.5

Divide $2 x^{3} - 9 x^{2} - 6 x + 5$ por $x + 1$ .

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Paso 1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$9 x^{2}$

$6 x$

$5$

Paso 1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$6 x$	+	$5$

Paso 1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$6 x$	+	$5$
			+	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Paso 1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$6 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Paso 1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$6 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$

Paso 1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$6 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	-	$6 x$

Paso 1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 11 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$6 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	-	$6 x$

Paso 1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$6 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$11 x^{2}$	-	$11 x$

Paso 1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 11 x^{2} - 11 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$6 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$11 x^{2}$	+	$11 x$

Paso 1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$6 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$11 x^{2}$	+	$11 x$
							+	$5 x$

Paso 1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$2 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$6 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$11 x^{2}$	+	$11 x$
							+	$5 x$	+	$5$

Paso 1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $5 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$11 x$	+	$5$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$6 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$11 x^{2}$	+	$11 x$
							+	$5 x$	+	$5$

Paso 1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 x^{2}$	-	$11 x$	+	$5$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$6 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$11 x^{2}$	+	$11 x$
							+	$5 x$	+	$5$
							+	$5 x$	+	$5$

Paso 1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $5 x + 5$ .

				$2 x^{2}$	-	$11 x$	+	$5$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$6 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$11 x^{2}$	+	$11 x$
							+	$5 x$	+	$5$
							-	$5 x$	-	$5$

Paso 1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$11 x$	+	$5$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$6 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$11 x^{2}$	+	$11 x$
							+	$5 x$	+	$5$
							-	$5 x$	-	$5$
										$0$

Paso 1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$2 x^{2} - 11 x + 5$

Paso 1.6

Escribe $2 x^{3} - 9 x^{2} - 6 x + 5$ como un conjunto de factores.

$(x + 1) (2 x^{2} - 11 x + 5)$

Paso 2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 5 = 10$ y cuya suma es $b = - 11$ .

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Paso 2.1.1.1

Factoriza $- 11$ de $- 11 x$ .

$(x + 1) (2 x^{2} - 11 (x) + 5)$

Paso 2.1.1.2

Reescribe $- 11$ como $- 1$ más $- 10$

$(x + 1) (2 x^{2} + (- 1 - 10) x + 5)$

Paso 2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x + 1) (2 x^{2} - 1 x - 10 x + 5)$

Paso 2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x + 1) ((2 x^{2} - 1 x) - 10 x + 5)$

Paso 2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x + 1) (x (2 x - 1) - 5 (2 x - 1))$

Paso 2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 1$ .

$(x + 1) ((2 x - 1) (x - 5))$

Paso 2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 1) (2 x - 1) (x - 5)$