Precálculo Ejemplos

$x^{3} - 8 x^{2} + 17 x - 10$

Paso 1

Factoriza $x^{3} - 8 x^{2} + 17 x - 10$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

$q = \pm 1$

Paso 1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

Paso 1.3

Sustituye $1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 1.3.1

Sustituye $1$ en el polinomio.

$1^{3} - 8 \cdot 1^{2} + 17 \cdot 1 - 10$

Paso 1.3.2

Eleva $1$ a la potencia de $3$ .

$1 - 8 \cdot 1^{2} + 17 \cdot 1 - 10$

Paso 1.3.3

Eleva $1$ a la potencia de $2$ .

$1 - 8 \cdot 1 + 17 \cdot 1 - 10$

Paso 1.3.4

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$1 - 8 + 17 \cdot 1 - 10$

Paso 1.3.5

Resta $8$ de $1$ .

$- 7 + 17 \cdot 1 - 10$

Paso 1.3.6

Multiplica $17$ por $1$ .

$- 7 + 17 - 10$

Paso 1.3.7

Suma $- 7$ y $17$ .

$10 - 10$

Paso 1.3.8

Resta $10$ de $10$ .

$0$

Paso 1.4

Como $1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - 8 x^{2} + 17 x - 10}{x - 1}$

Paso 1.5

Divide $x^{3} - 8 x^{2} + 17 x - 10$ por $x - 1$ .

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Paso 1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$8 x^{2}$

$17 x$

$10$

Paso 1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$17 x$	-	$10$

Paso 1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$17 x$	-	$10$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Paso 1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$17 x$	-	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Paso 1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$17 x$	-	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$7 x^{2}$

Paso 1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$17 x$	-	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$17 x$

Paso 1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 7 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$17 x$	-	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$17 x$

Paso 1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$17 x$	-	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$17 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$7 x$

Paso 1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 7 x^{2} + 7 x$ .

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$17 x$	-	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$17 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$7 x$

Paso 1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$17 x$	-	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$17 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$10 x$

Paso 1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$17 x$	-	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$17 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$10 x$	-	$10$

Paso 1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $10 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$17 x$	-	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$17 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$10 x$	-	$10$

Paso 1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$17 x$	-	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$17 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$10 x$	-	$10$
							+	$10 x$	-	$10$

Paso 1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $10 x - 10$ .

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$17 x$	-	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$17 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$10 x$	-	$10$
							-	$10 x$	+	$10$

Paso 1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$17 x$	-	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$17 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$10 x$	-	$10$
							-	$10 x$	+	$10$
										$0$

Paso 1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - 7 x + 10$

Paso 1.6

Escribe $x^{3} - 8 x^{2} + 17 x - 10$ como un conjunto de factores.

$(x - 1) (x^{2} - 7 x + 10)$

Paso 2

Factoriza $x^{2} - 7 x + 10$ con el método AC.

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Paso 2.1

Factoriza $x^{2} - 7 x + 10$ con el método AC.

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Paso 2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $10$ y cuya suma es $- 7$ .

$- 5, - 2$

Paso 2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 1) ((x - 5) (x - 2))$

Paso 2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x - 1) (x - 5) (x - 2)$