Precálculo Ejemplos

${(2 x - 1)}^{2} = 8$

Paso 1

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

${(2 x - 1)}^{2} - 8 = 0$

Paso 2

Simplifica ${(2 x - 1)}^{2} - 8$ .

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Reescribe ${(2 x - 1)}^{2}$ como $(2 x - 1) (2 x - 1)$ .

$(2 x - 1) (2 x - 1) - 8 = 0$

Paso 2.1.2

Expande $(2 x - 1) (2 x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1) - 8 = 0$

Paso 2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1) - 8 = 0$

Paso 2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1 - 8 = 0$

Paso 2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1 - 8 = 0$

Paso 2.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1 - 8 = 0$

Paso 2.1.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1 - 8 = 0$

Paso 2.1.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1 - 8 = 0$

Paso 2.1.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$4 x^{2} - 2 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1 - 8 = 0$

Paso 2.1.3.1.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$4 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1 - 8 = 0$

Paso 2.1.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$4 x^{2} - 2 x - 2 x + 1 - 8 = 0$

Paso 2.1.3.2

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$4 x^{2} - 4 x + 1 - 8 = 0$

Paso 2.2

Resta $8$ de $1$ .

$4 x^{2} - 4 x - 7 = 0$

Paso 3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4

Sustituye los valores $a = 4$ , $b = - 4$ y $c = - 7$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 7)}}{2 \cdot 4}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 7}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 4 \cdot - 7$ .

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Paso 5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 7}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.2.2

Multiplica $- 16$ por $- 7$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 112}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.3

Suma $16$ y $112$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{128}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.4

Reescribe $128$ como $8^{2} \cdot 2$ .

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Paso 5.1.4.1

Factoriza $64$ de $128$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{64 (2)}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.4.2

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{4 \pm 8 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$x = \frac{4 \pm 8 \sqrt{2}}{8}$

Paso 5.3

Simplifica $\frac{4 \pm 8 \sqrt{2}}{8}$ .

$x = \frac{1 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 7}}{2 \cdot 4}$

Paso 6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 4 \cdot - 7$ .

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Paso 6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 7}}{2 \cdot 4}$

Paso 6.1.2.2

Multiplica $- 16$ por $- 7$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 112}}{2 \cdot 4}$

Paso 6.1.3

Suma $16$ y $112$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{128}}{2 \cdot 4}$

Paso 6.1.4

Reescribe $128$ como $8^{2} \cdot 2$ .

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Paso 6.1.4.1

Factoriza $64$ de $128$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{64 (2)}}{2 \cdot 4}$

Paso 6.1.4.2

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Paso 6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{4 \pm 8 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$x = \frac{4 \pm 8 \sqrt{2}}{8}$

Paso 6.3

Simplifica $\frac{4 \pm 8 \sqrt{2}}{8}$ .

$x = \frac{1 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 6.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{1 + 2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 7}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 4 \cdot - 7$ .

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Paso 7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 7}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.1.2.2

Multiplica $- 16$ por $- 7$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 112}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.1.3

Suma $16$ y $112$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{128}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.1.4

Reescribe $128$ como $8^{2} \cdot 2$ .

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Paso 7.1.4.1

Factoriza $64$ de $128$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{64 (2)}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.1.4.2

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{4 \pm 8 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$x = \frac{4 \pm 8 \sqrt{2}}{8}$

Paso 7.3

Simplifica $\frac{4 \pm 8 \sqrt{2}}{8}$ .

$x = \frac{1 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 7.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{1 - 2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 8

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{1 + 2 \sqrt{2}}{2}, \frac{1 - 2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{1 + 2 \sqrt{2}}{2}, \frac{1 - 2 \sqrt{2}}{2}$

Forma decimal:

$x = 1.91421356 \dots, - 0.91421356 \dots$