Precálculo Ejemplos

$2 \cos^{2} (x) - \cos (x) - 1 = 0$

Paso 1

Sea $u = \cos (x)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $\cos (x)$ .

$2 u^{2} - u - 1 = 0$

Paso 2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ y cuya suma es $b = - 1$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $- 1$ de $- u$ .

$2 u^{2} - (u) - 1 = 0$

Paso 2.1.2

Reescribe $- 1$ como $1$ más $- 2$

$2 u^{2} + (1 - 2) u - 1 = 0$

Paso 2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1 = 0$

Paso 2.1.4

Multiplica $u$ por $1$ .

$2 u^{2} + u - 2 u - 1 = 0$

Paso 2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(2 u^{2} + u) - 2 u - 1 = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (2 u + 1) - (2 u + 1) = 0$

Paso 2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u + 1$ .

$(2 u + 1) (u - 1) = 0$

Paso 3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$(2 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Paso 5

Establece $2 \cos (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $2 \cos (x) + 1$ igual a $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $2 \cos (x) + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \cos (x) = - 1$

Paso 5.2.2

Divide cada término en $2 \cos (x) = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Divide cada término en $2 \cos (x) = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 5.2.2.2.1.2

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

Paso 5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Paso 5.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.4.1

El valor exacto de $\arccos (- \frac{1}{2})$ es $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Paso 5.2.5

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Paso 5.2.6

Simplifica $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Paso 5.2.6.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Paso 5.2.6.2

Combina fracciones.

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Paso 5.2.6.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Paso 5.2.6.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Paso 5.2.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.6.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Paso 5.2.6.3.2

Resta $2 π$ de $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Paso 5.2.7

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 5.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 5.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 5.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 5.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 5.2.8

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6

Establece $\cos (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $\cos (x) - 1$ igual a $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Paso 6.2

Resuelve $\cos (x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\cos (x) = 1$

Paso 6.2.2

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (1)$

Paso 6.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.3.1

El valor exacto de $\arccos (1)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 6.2.4

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - 0$

Paso 6.2.5

Resta $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Paso 6.2.6

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 6.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 6.2.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 6.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 6.2.6.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 6.2.7

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8

Consolida las respuestas.

$x = \frac{2 π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$