Precálculo Ejemplos

$3 x^{4} - 10 x^{3} - 9 x^{2} + 40 x - 12$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1, \pm 3$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm 3, \pm 4, \pm \frac{4}{3}, \pm 6, \pm 12$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

$3 {(2)}^{4} - 10 {(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} + 40 (2) - 12$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = 2$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$3 \cdot 16 - 10 {(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} + 40 (2) - 12$

Paso 4.1.2

Multiplica $3$ por $16$ .

$48 - 10 {(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} + 40 (2) - 12$

Paso 4.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$48 - 10 \cdot 8 - 9 {(2)}^{2} + 40 (2) - 12$

Paso 4.1.4

Multiplica $- 10$ por $8$ .

$48 - 80 - 9 {(2)}^{2} + 40 (2) - 12$

Paso 4.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$48 - 80 - 9 \cdot 4 + 40 (2) - 12$

Paso 4.1.6

Multiplica $- 9$ por $4$ .

$48 - 80 - 36 + 40 (2) - 12$

Paso 4.1.7

Multiplica $40$ por $2$ .

$48 - 80 - 36 + 80 - 12$

Paso 4.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.1

Resta $80$ de $48$ .

$- 32 - 36 + 80 - 12$

Paso 4.2.2

Resta $36$ de $- 32$ .

$- 68 + 80 - 12$

Paso 4.2.3

Suma $- 68$ y $80$ .

$12 - 12$

Paso 4.2.4

Resta $12$ de $12$ .

$0$

Paso 5

Como $2$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 2$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{3 x^{4} - 10 x^{3} - 9 x^{2} + 40 x - 12}{x - 2}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(3)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$

	$3$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(3)$ por el divisor $(2)$ y coloca el resultado de $(6)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 10)$ .

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$
		$6$
	$3$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$
		$6$
	$3$	$- 4$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 4)$ por el divisor $(2)$ y coloca el resultado de $(- 8)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 9)$ .

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$
		$6$	$- 8$
	$3$	$- 4$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$
		$6$	$- 8$
	$3$	$- 4$	$- 17$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 17)$ por el divisor $(2)$ y coloca el resultado de $(- 34)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(40)$ .

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$
		$6$	$- 8$	$- 34$
	$3$	$- 4$	$- 17$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$
		$6$	$- 8$	$- 34$
	$3$	$- 4$	$- 17$	$6$

Paso 6.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(6)$ por el divisor $(2)$ y coloca el resultado de $(12)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 12)$ .

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$
		$6$	$- 8$	$- 34$	$12$
	$3$	$- 4$	$- 17$	$6$

Paso 6.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$
		$6$	$- 8$	$- 34$	$12$
	$3$	$- 4$	$- 17$	$6$	$0$

Paso 6.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$3 x^{3} + - 4 x^{2} + (- 17) x + 6$

Paso 6.12

Simplifica el polinomio del cociente.

$3 x^{3} - 4 x^{2} - 17 x + 6$

Paso 7

Resuelve la ecuación para obtener las raíces restantes.

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Paso 7.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 7.1.1

Factoriza $3 x^{3} - 4 x^{2} - 17 x + 6$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 7.1.1.1

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 3$

Paso 7.1.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 6, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 3$

Paso 7.1.1.3

Sustituye $0.\overline{3}$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $0.\overline{3}$ es una raíz del polinomio.

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Paso 7.1.1.3.1

Sustituye $0.\overline{3}$ en el polinomio.

$3 \cdot {0.\overline{3}}^{3} - 4 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 6$

Paso 7.1.1.3.2

Eleva $0.\overline{3}$ a la potencia de $3$ .

$3 \cdot 0.\overline{037} - 4 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 6$

Paso 7.1.1.3.3

Multiplica $3$ por $0.\overline{037}$ .

$0.\overline{1} - 4 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 6$

Paso 7.1.1.3.4

Eleva $0.\overline{3}$ a la potencia de $2$ .

$0.\overline{1} - 4 \cdot 0.\overline{1} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 6$

Paso 7.1.1.3.5

Multiplica $- 4$ por $0.\overline{1}$ .

$0.\overline{1} - 0.\overline{4} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 6$

Paso 7.1.1.3.6

Resta $0.\overline{4}$ de $0.\overline{1}$ .

$- 0.\overline{3} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 6$

Paso 7.1.1.3.7

Multiplica $- 17$ por $0.\overline{3}$ .

$- 0.\overline{3} - 5.\overline{6} + 6$

Paso 7.1.1.3.8

Resta $5.\overline{6}$ de $- 0.\overline{3}$ .

$- 6 + 6$

Paso 7.1.1.3.9

Suma $- 6$ y $6$ .

$0$

Paso 7.1.1.4

Como $0.\overline{3}$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $3 x - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{3 x^{3} - 4 x^{2} - 17 x + 6}{3 x - 1}$

Paso 7.1.1.5

Divide $3 x^{3} - 4 x^{2} - 17 x + 6$ por $3 x - 1$ .

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Paso 7.1.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$3 x$

$1$

$3 x^{3}$

$4 x^{2}$

$17 x$

$6$

Paso 7.1.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $3 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x$ .

					$x^{2}$
	$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$

Paso 7.1.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			+	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$

Paso 7.1.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $3 x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$

Paso 7.1.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

Paso 7.1.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$

Paso 7.1.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 3 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$

Paso 7.1.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$

Paso 7.1.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 3 x^{2} + x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$x$

Paso 7.1.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$x$
							-	$18 x$

Paso 7.1.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$x$
							-	$18 x$	+	$6$

Paso 7.1.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 18 x$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$x$
							-	$18 x$	+	$6$

Paso 7.1.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$x$
							-	$18 x$	+	$6$
							-	$18 x$	+	$6$

Paso 7.1.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 18 x + 6$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$x$
							-	$18 x$	+	$6$
							+	$18 x$	-	$6$

Paso 7.1.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$x$
							-	$18 x$	+	$6$
							+	$18 x$	-	$6$
										$0$

Paso 7.1.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - x - 6$

Paso 7.1.1.6

Escribe $3 x^{3} - 4 x^{2} - 17 x + 6$ como un conjunto de factores.

$(3 x - 1) (x^{2} - x - 6) = 0$

Paso 7.1.2

Factoriza $x^{2} - x - 6$ con el método AC.

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Paso 7.1.2.1

Factoriza $x^{2} - x - 6$ con el método AC.

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Paso 7.1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 3, 2$

Paso 7.1.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(3 x - 1) ((x - 3) (x + 2)) = 0$

Paso 7.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(3 x - 1) (x - 3) (x + 2) = 0$

Paso 7.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 7.3

Establece $3 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.3.1

Establece $3 x - 1$ igual a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Paso 7.3.2

Resuelve $3 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 1$

Paso 7.3.2.2

Divide cada término en $3 x = 1$ por $3$ y simplifica.

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Paso 7.3.2.2.1

Divide cada término en $3 x = 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Paso 7.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Paso 7.3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Paso 7.4

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.4.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 7.4.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 7.5

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.5.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 7.5.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 7.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 x - 1) (x - 3) (x + 2) = 0$ verdadera.

$x = \frac{1}{3}, 3, - 2$

Paso 8

El polinomio puede escribirse como un conjunto de factores lineales.

$(x - 2) (x - \frac{1}{3}) (x - 3) (x + 2)$

Paso 9

Estas son las raíces (ceros) del polinomio $3 x^{4} - 10 x^{3} - 9 x^{2} + 40 x - 12$ .

$x = 2, \frac{1}{3}, 3, - 2$

Paso 10