Precálculo Ejemplos

$2 x^{4} - 17 x^{3} + 35 x^{2} + 9 x - 45$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 45$

$q = \pm 1, \pm 2$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm 9, \pm \frac{9}{2}, \pm 15, \pm \frac{15}{2}, \pm 45, \pm \frac{45}{2}$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

$2 {(- 1)}^{4} - 17 {(- 1)}^{3} + 35 {(- 1)}^{2} + 9 (- 1) - 45$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = - 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$2 \cdot 1 - 17 {(- 1)}^{3} + 35 {(- 1)}^{2} + 9 (- 1) - 45$

Paso 4.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 - 17 {(- 1)}^{3} + 35 {(- 1)}^{2} + 9 (- 1) - 45$

Paso 4.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$2 - 17 \cdot - 1 + 35 {(- 1)}^{2} + 9 (- 1) - 45$

Paso 4.1.4

Multiplica $- 17$ por $- 1$ .

$2 + 17 + 35 {(- 1)}^{2} + 9 (- 1) - 45$

Paso 4.1.5

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$2 + 17 + 35 \cdot 1 + 9 (- 1) - 45$

Paso 4.1.6

Multiplica $35$ por $1$ .

$2 + 17 + 35 + 9 (- 1) - 45$

Paso 4.1.7

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$2 + 17 + 35 - 9 - 45$

Paso 4.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.1

Suma $2$ y $17$ .

$19 + 35 - 9 - 45$

Paso 4.2.2

Suma $19$ y $35$ .

$54 - 9 - 45$

Paso 4.2.3

Resta $9$ de $54$ .

$45 - 45$

Paso 4.2.4

Resta $45$ de $45$ .

$0$

Paso 5

Como $- 1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{2 x^{4} - 17 x^{3} + 35 x^{2} + 9 x - 45}{x + 1}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(2)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$

	$2$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(2)$ por el divisor $(- 1)$ y coloca el resultado de $(- 2)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 17)$ .

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$
	$2$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$
	$2$	$- 19$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 19)$ por el divisor $(- 1)$ y coloca el resultado de $(19)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(35)$ .

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$	$19$
	$2$	$- 19$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$	$19$
	$2$	$- 19$	$54$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(54)$ por el divisor $(- 1)$ y coloca el resultado de $(- 54)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(9)$ .

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$	$19$	$- 54$
	$2$	$- 19$	$54$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$	$19$	$- 54$
	$2$	$- 19$	$54$	$- 45$

Paso 6.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 45)$ por el divisor $(- 1)$ y coloca el resultado de $(45)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 45)$ .

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$	$19$	$- 54$	$45$
	$2$	$- 19$	$54$	$- 45$

Paso 6.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$	$19$	$- 54$	$45$
	$2$	$- 19$	$54$	$- 45$	$0$

Paso 6.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$2 x^{3} + - 19 x^{2} + (54) x - 45$

Paso 6.12

Simplifica el polinomio del cociente.

$2 x^{3} - 19 x^{2} + 54 x - 45$

Paso 7

Resuelve la ecuación para obtener las raíces restantes.

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Paso 7.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 7.1.1

Factoriza $2 x^{3} - 19 x^{2} + 54 x - 45$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 7.1.1.1

$p = \pm 1, \pm 45, \pm 3, \pm 15, \pm 5, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 2$

Paso 7.1.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 45, \pm 22.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 15, \pm 7.5, \pm 5, \pm 2.5, \pm 9, \pm 4.5$

Paso 7.1.1.3

Sustituye $3$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $3$ es una raíz del polinomio.

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Paso 7.1.1.3.1

Sustituye $3$ en el polinomio.

$2 \cdot 3^{3} - 19 \cdot 3^{2} + 54 \cdot 3 - 45$

Paso 7.1.1.3.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$2 \cdot 27 - 19 \cdot 3^{2} + 54 \cdot 3 - 45$

Paso 7.1.1.3.3

Multiplica $2$ por $27$ .

$54 - 19 \cdot 3^{2} + 54 \cdot 3 - 45$

Paso 7.1.1.3.4

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$54 - 19 \cdot 9 + 54 \cdot 3 - 45$

Paso 7.1.1.3.5

Multiplica $- 19$ por $9$ .

$54 - 171 + 54 \cdot 3 - 45$

Paso 7.1.1.3.6

Resta $171$ de $54$ .

$- 117 + 54 \cdot 3 - 45$

Paso 7.1.1.3.7

Multiplica $54$ por $3$ .

$- 117 + 162 - 45$

Paso 7.1.1.3.8

Suma $- 117$ y $162$ .

$45 - 45$

Paso 7.1.1.3.9

Resta $45$ de $45$ .

$0$

Paso 7.1.1.4

Como $3$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 3$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{2 x^{3} - 19 x^{2} + 54 x - 45}{x - 3}$

Paso 7.1.1.5

Divide $2 x^{3} - 19 x^{2} + 54 x - 45$ por $x - 3$ .

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Paso 7.1.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$3$

$2 x^{3}$

$19 x^{2}$

$54 x$

$45$

Paso 7.1.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$

Paso 7.1.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			+	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Paso 7.1.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x^{3} - 6 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Paso 7.1.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$

Paso 7.1.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$

Paso 7.1.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 13 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$

Paso 7.1.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					-	$13 x^{2}$	+	$39 x$

Paso 7.1.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 13 x^{2} + 39 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$39 x$

Paso 7.1.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$39 x$
							+	$15 x$

Paso 7.1.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$39 x$
							+	$15 x$	-	$45$

Paso 7.1.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $15 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$13 x$	+	$15$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$39 x$
							+	$15 x$	-	$45$

Paso 7.1.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$	+	$15$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$39 x$
							+	$15 x$	-	$45$
							+	$15 x$	-	$45$

Paso 7.1.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $15 x - 45$ .

				$2 x^{2}$	-	$13 x$	+	$15$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$39 x$
							+	$15 x$	-	$45$
							-	$15 x$	+	$45$

Paso 7.1.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$	+	$15$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$39 x$
							+	$15 x$	-	$45$
							-	$15 x$	+	$45$
										$0$

Paso 7.1.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$2 x^{2} - 13 x + 15$

Paso 7.1.1.6

Escribe $2 x^{3} - 19 x^{2} + 54 x - 45$ como un conjunto de factores.

$(x - 3) (2 x^{2} - 13 x + 15) = 0$

Paso 7.1.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 7.1.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 7.1.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 15 = 30$ y cuya suma es $b = - 13$ .

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Paso 7.1.2.1.1.1

Factoriza $- 13$ de $- 13 x$ .

$(x - 3) (2 x^{2} - 13 x + 15) = 0$

Paso 7.1.2.1.1.2

Reescribe $- 13$ como $- 3$ más $- 10$

$(x - 3) (2 x^{2} + (- 3 - 10) x + 15) = 0$

Paso 7.1.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x - 3) (2 x^{2} - 3 x - 10 x + 15) = 0$

Paso 7.1.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 7.1.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x - 3) ((2 x^{2} - 3 x) - 10 x + 15) = 0$

Paso 7.1.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x - 3) (x (2 x - 3) - 5 (2 x - 3)) = 0$

Paso 7.1.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 3$ .

$(x - 3) ((2 x - 3) (x - 5)) = 0$

Paso 7.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x - 3) (2 x - 3) (x - 5) = 0$

Paso 7.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$2 x - 3 = 0$

$x - 5 = 0$

Paso 7.3

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.3.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 7.3.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 7.4

Establece $2 x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.4.1

Establece $2 x - 3$ igual a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Paso 7.4.2

Resuelve $2 x - 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.4.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 3$

Paso 7.4.2.2

Divide cada término en $2 x = 3$ por $2$ y simplifica.

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Paso 7.4.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 7.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 7.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Paso 7.5

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.5.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 7.5.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 7.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 3) (2 x - 3) (x - 5) = 0$ verdadera.

$x = 3, \frac{3}{2}, 5$

Paso 8

El polinomio puede escribirse como un conjunto de factores lineales.

$(x + 1) (x - 3) (x - \frac{3}{2}) (x - 5)$

Paso 9

Estas son las raíces (ceros) del polinomio $2 x^{4} - 17 x^{3} + 35 x^{2} + 9 x - 45$ .

$x = - 1, 3, \frac{3}{2}, 5$

Paso 10