Precálculo Ejemplos

$1 + \frac{2}{x + 1} \leq \frac{2}{x}$

Paso 1

Resta $\frac{2}{x}$ de ambos lados de la desigualdad.

$1 + \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x} \leq 0$

Paso 2

Simplifica $1 + \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x}$ .

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Paso 2.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{x + 1}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x} \leq 0$

Paso 2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x + 1 + 2}{x + 1} - \frac{2}{x} \leq 0$

Paso 2.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{x + 3}{x + 1} - \frac{2}{x} \leq 0$

Paso 2.4

Para escribir $\frac{x + 3}{x + 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x + 3}{x + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2}{x} \leq 0$

Paso 2.5

Para escribir $- \frac{2}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x + 3}{x + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2}{x} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} \leq 0$

Paso 2.6

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + 1) x$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.6.1

Multiplica $\frac{x + 3}{x + 1}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x + 3) x}{(x + 1) x} - \frac{2}{x} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} \leq 0$

Paso 2.6.2

Multiplica $\frac{2}{x}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(x + 3) x}{(x + 1) x} - \frac{2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

Paso 2.6.3

Reordena los factores de $(x + 1) x$ .

$\frac{(x + 3) x}{x (x + 1)} - \frac{2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

Paso 2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x + 3) x - 2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

Paso 2.8

Simplifica el numerador.

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Paso 2.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + 3 x - 2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

Paso 2.8.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

Paso 2.8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 3 x - 2 x - 2 \cdot 1}{x (x + 1)} \leq 0$

Paso 2.8.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 2 x - 2}{x (x + 1)} \leq 0$

Paso 2.8.5

Resta $2 x$ de $3 x$ .

$\frac{x^{2} + x - 2}{x (x + 1)} \leq 0$

Paso 2.8.6

Factoriza $x^{2} + x - 2$ con el método AC.

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Paso 2.8.6.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $1$ .

$- 1, 2$

Paso 2.8.6.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{x (x + 1)} \leq 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 4

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 5

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 6

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 7

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 0$

$x = 1$

$x = - 2$

$x = - 1$

Paso 8

Consolida las soluciones.

$x = 0, 1, - 2, - 1$

Paso 9

Obtén el dominio de $\frac{(x - 1) (x + 2)}{x (x + 1)}$ .

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Paso 9.1

Establece el denominador en $\frac{(x - 1) (x + 2)}{x (x + 1)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x (x + 1) = 0$

Paso 9.2

Resuelve $x$

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Paso 9.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 9.2.2

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 9.2.3

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 9.2.3.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 9.2.3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 9.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 1$

Paso 9.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 2$

$- 2 < x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Paso 11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 11.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 11.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$1 + \frac{2}{(- 4) + 1} \leq \frac{2}{- 4}$

Paso 11.1.3

$0.\overline{3}$ del lado izquierdo es mayor que $- 0.5$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 11.2

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 1.5$

Paso 11.2.2

Reemplaza $x$ con $- 1.5$ en la desigualdad original.

$1 + \frac{2}{(- 1.5) + 1} \leq \frac{2}{- 1.5}$

Paso 11.2.3

$- 3$ del lado izquierdo es menor que $- 1.\overline{3}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 11.3

Prueba un valor en el intervalo $- 1 < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.3.1

Elije un valor en el intervalo $- 1 < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 0.5$

Paso 11.3.2

Reemplaza $x$ con $- 0.5$ en la desigualdad original.

$1 + \frac{2}{(- 0.5) + 1} \leq \frac{2}{- 0.5}$

Paso 11.3.3

$5$ del lado izquierdo es mayor que $- 4$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 11.4

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.4.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0.5$

Paso 11.4.2

Reemplaza $x$ con $0.5$ en la desigualdad original.

$1 + \frac{2}{(0.5) + 1} \leq \frac{2}{0.5}$

Paso 11.4.3

$2.\overline{3}$ del lado izquierdo es menor que $4$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 11.5

Prueba un valor en el intervalo $x > 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.5.1

Elije un valor en el intervalo $x > 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 11.5.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$1 + \frac{2}{(4) + 1} \leq \frac{2}{4}$

Paso 11.5.3

$1.4$ del lado izquierdo es mayor que $0.5$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 11.6

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Verdadero

$x > 1$ Falso

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Verdadero

$x > 1$ Falso

Paso 12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 2 \leq x < - 1$ o $0 < x \leq 1$

Paso 13

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$[- 2, - 1) \cup (0, 1]$

Paso 14