Precálculo Ejemplos

$x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

${(- 1)}^{4} - 2 {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} - 8 \cdot - 1 - 12$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = - 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$1 - 2 {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} - 8 \cdot - 1 - 12$

Paso 4.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$1 - 2 \cdot - 1 + {(- 1)}^{2} - 8 \cdot - 1 - 12$

Paso 4.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$1 + 2 + {(- 1)}^{2} - 8 \cdot - 1 - 12$

Paso 4.1.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 + 2 + 1 - 8 \cdot - 1 - 12$

Paso 4.1.5

Multiplica $- 8$ por $- 1$ .

$1 + 2 + 1 + 8 - 12$

Paso 4.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.1

Suma $1$ y $2$ .

$3 + 1 + 8 - 12$

Paso 4.2.2

Suma $3$ y $1$ .

$4 + 8 - 12$

Paso 4.2.3

Suma $4$ y $8$ .

$12 - 12$

Paso 4.2.4

Resta $12$ de $12$ .

$0$

Paso 5

Como $- 1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - 8 x - 12}{x + 1}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(1)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$

	$1$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(- 1)$ y coloca el resultado de $(- 1)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 2)$ .

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$
	$1$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$
	$1$	$- 3$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 3)$ por el divisor $(- 1)$ y coloca el resultado de $(3)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(1)$ .

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$	$3$
	$1$	$- 3$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$	$3$
	$1$	$- 3$	$4$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(4)$ por el divisor $(- 1)$ y coloca el resultado de $(- 4)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 8)$ .

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$	$3$	$- 4$
	$1$	$- 3$	$4$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$	$3$	$- 4$
	$1$	$- 3$	$4$	$- 12$

Paso 6.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 12)$ por el divisor $(- 1)$ y coloca el resultado de $(12)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 12)$ .

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$	$3$	$- 4$	$12$
	$1$	$- 3$	$4$	$- 12$

Paso 6.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$	$3$	$- 4$	$12$
	$1$	$- 3$	$4$	$- 12$	$0$

Paso 6.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$1 x^{3} + - 3 x^{2} + (4) x - 12$

Paso 6.12

Simplifica el polinomio del cociente.

$x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 12$

Paso 7

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 7.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x + 1) (x^{3} - 3 x^{2}) + 4 x - 12$

Paso 7.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x + 1) + x^{2} (x - 3) + 4 (x - 3)$

$(x + 1) x^{2} (x - 3) + 4 (x - 3)$

Paso 8

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x - 3$ .

$(x + 1) (x - 3) (x^{2} + 4)$

Paso 9

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 9.1

Reagrupa los términos.

$- 2 x^{3} - 8 x + x^{4} + x^{2} - 12 = 0$

Paso 9.2

Factoriza $- 2 x$ de $- 2 x^{3} - 8 x$ .

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Paso 9.2.1

Factoriza $- 2 x$ de $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x \cdot x^{2} - 8 x + x^{4} + x^{2} - 12 = 0$

Paso 9.2.2

Factoriza $- 2 x$ de $- 8 x$ .

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot 4 + x^{4} + x^{2} - 12 = 0$

Paso 9.2.3

Factoriza $- 2 x$ de $- 2 x (x^{2}) - 2 x (4)$ .

$- 2 x (x^{2} + 4) + x^{4} + x^{2} - 12 = 0$

Paso 9.3

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 2 x (x^{2} + 4) + {(x^{2})}^{2} + x^{2} - 12 = 0$

Paso 9.4

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$- 2 x (x^{2} + 4) + u^{2} + u - 12 = 0$

Paso 9.5

Factoriza $u^{2} + u - 12$ con el método AC.

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Paso 9.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 12$ y cuya suma es $1$ .

$- 3, 4$

Paso 9.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- 2 x (x^{2} + 4) + (u - 3) (u + 4) = 0$

Paso 9.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$- 2 x (x^{2} + 4) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 4) = 0$

Paso 9.7

Factoriza $x^{2} + 4$ de $- 2 x (x^{2} + 4) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 4)$ .

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Paso 9.7.1

Factoriza $x^{2} + 4$ de $- 2 x (x^{2} + 4)$ .

$(x^{2} + 4) (- 2 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 4) = 0$

Paso 9.7.2

Factoriza $x^{2} + 4$ de $(x^{2} - 3) (x^{2} + 4)$ .

$(x^{2} + 4) (- 2 x) + (x^{2} + 4) (x^{2} - 3) = 0$

Paso 9.7.3

Factoriza $x^{2} + 4$ de $(x^{2} + 4) (- 2 x) + (x^{2} + 4) (x^{2} - 3)$ .

$(x^{2} + 4) (- 2 x + x^{2} - 3) = 0$

Paso 9.8

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$(x^{2} + 4) (- 2 u + u^{2} - 3) = 0$

Paso 9.9

Factoriza $- 2 u + u^{2} - 3$ con el método AC.

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Paso 9.9.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 3$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 3, 1$

Paso 9.9.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x^{2} + 4) ((u - 3) (u + 1)) = 0$

Paso 9.10

Factoriza.

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Paso 9.10.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$(x^{2} + 4) ((x - 3) (x + 1)) = 0$

Paso 9.10.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x^{2} + 4) (x - 3) (x + 1) = 0$

Paso 10

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 11

Establece $x^{2} + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.1

Establece $x^{2} + 4$ igual a $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Paso 11.2

Resuelve $x^{2} + 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 11.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 4$

Paso 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Paso 11.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Paso 11.2.3.1

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Paso 11.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Paso 11.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Paso 11.2.3.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Paso 11.2.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm i \cdot 2$

Paso 11.2.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Paso 11.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 11.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2 i$

Paso 11.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2 i$

Paso 11.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2 i, - 2 i$

Paso 12

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 12.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 12.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 13

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 13.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 13.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 14

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{2} + 4) (x - 3) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 2 i, - 2 i, 3, - 1$

Paso 15