Precálculo Ejemplos

$x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 12$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

${(3)}^{3} - 5 {(3)}^{2} + 2 (3) + 12$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = 3$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 - 5 {(3)}^{2} + 2 (3) + 12$

Paso 4.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$27 - 5 \cdot 9 + 2 (3) + 12$

Paso 4.1.3

Multiplica $- 5$ por $9$ .

$27 - 45 + 2 (3) + 12$

Paso 4.1.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$27 - 45 + 6 + 12$

Paso 4.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.1

Resta $45$ de $27$ .

$- 18 + 6 + 12$

Paso 4.2.2

Suma $- 18$ y $6$ .

$- 12 + 12$

Paso 4.2.3

Suma $- 12$ y $12$ .

$0$

Paso 5

Como $3$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 3$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 12}{x - 3}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$3$	$1$	$- 5$	$2$	$12$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(1)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$3$	$1$	$- 5$	$2$	$12$

	$1$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(3)$ y coloca el resultado de $(3)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 5)$ .

$3$	$1$	$- 5$	$2$	$12$
		$3$
	$1$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$3$	$1$	$- 5$	$2$	$12$
		$3$
	$1$	$- 2$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 2)$ por el divisor $(3)$ y coloca el resultado de $(- 6)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(2)$ .

$3$	$1$	$- 5$	$2$	$12$
		$3$	$- 6$
	$1$	$- 2$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$3$	$1$	$- 5$	$2$	$12$
		$3$	$- 6$
	$1$	$- 2$	$- 4$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 4)$ por el divisor $(3)$ y coloca el resultado de $(- 12)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(12)$ .

$3$	$1$	$- 5$	$2$	$12$
		$3$	$- 6$	$- 12$
	$1$	$- 2$	$- 4$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$3$	$1$	$- 5$	$2$	$12$
		$3$	$- 6$	$- 12$
	$1$	$- 2$	$- 4$	$0$

Paso 6.9

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$1 x^{2} + - 2 x - 4$

Paso 6.10

Simplifica el polinomio del cociente.

$x^{2} - 2 x - 4$

Paso 7

Resuelve la ecuación para obtener las raíces restantes.

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Paso 7.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 7.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 2$ y $c = - 4$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.3.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Paso 7.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.3

Suma $4$ y $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.4

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 7.3.1.4.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Paso 7.3.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Paso 7.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 7.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.4.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Paso 7.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.1.3

Suma $4$ y $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.1.4

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 7.4.1.4.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Paso 7.4.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Paso 7.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = 1 + \sqrt{5}$

Paso 7.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 7.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.5.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Paso 7.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.3

Suma $4$ y $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.4

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 7.5.1.4.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Paso 7.5.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Paso 7.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = 1 - \sqrt{5}$

Paso 7.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

Paso 8

El polinomio puede escribirse como un conjunto de factores lineales.

$(x - 3) (x - 1 - \sqrt{5}) (x - 1 + \sqrt{5})$

Paso 9

Estas son las raíces (ceros) del polinomio $x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 12$ .

$x = 3, 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = 3, 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

Forma decimal:

$x = 3, 3.23606797 \dots, - 1.23606797 \dots$

Paso 11