Precálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4} - x^{3} - 7 x^{2} + 5 x + 10$

Paso 1

Establece $x^{4} - x^{3} - 7 x^{2} + 5 x + 10$ igual a $0$ .

$x^{4} - x^{3} - 7 x^{2} + 5 x + 10 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Reagrupa los términos.

$- x^{3} + 5 x + x^{4} - 7 x^{2} + 10 = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $- x$ de $- x^{3} + 5 x$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $- x$ de $- x^{3}$ .

$- x \cdot x^{2} + 5 x + x^{4} - 7 x^{2} + 10 = 0$

Paso 2.1.2.2

Factoriza $- x$ de $5 x$ .

$- x \cdot x^{2} - x \cdot - 5 + x^{4} - 7 x^{2} + 10 = 0$

Paso 2.1.2.3

Factoriza $- x$ de $- x (x^{2}) - x (- 5)$ .

$- x (x^{2} - 5) + x^{4} - 7 x^{2} + 10 = 0$

Paso 2.1.3

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (x^{2} - 5) + {(x^{2})}^{2} - 7 x^{2} + 10 = 0$

Paso 2.1.4

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$- x (x^{2} - 5) + u^{2} - 7 u + 10 = 0$

Paso 2.1.5

Factoriza $u^{2} - 7 u + 10$ con el método AC.

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Paso 2.1.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $10$ y cuya suma es $- 7$ .

$- 5, - 2$

Paso 2.1.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- x (x^{2} - 5) + (u - 5) (u - 2) = 0$

Paso 2.1.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$- x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x^{2} - 2) = 0$

Paso 2.1.7

Factoriza $x^{2} - 5$ de $- x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x^{2} - 2)$ .

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Paso 2.1.7.1

Factoriza $x^{2} - 5$ de $- x (x^{2} - 5)$ .

$(x^{2} - 5) (- x) + (x^{2} - 5) (x^{2} - 2) = 0$

Paso 2.1.7.2

Factoriza $x^{2} - 5$ de $(x^{2} - 5) (- x) + (x^{2} - 5) (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 5) (- x + x^{2} - 2) = 0$

Paso 2.1.8

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$(x^{2} - 5) (- u + u^{2} - 2) = 0$

Paso 2.1.9

Factoriza $- u + u^{2} - 2$ con el método AC.

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Paso 2.1.9.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 2, 1$

Paso 2.1.9.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x^{2} - 5) ((u - 2) (u + 1)) = 0$

Paso 2.1.10

Factoriza.

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Paso 2.1.10.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$(x^{2} - 5) ((x - 2) (x + 1)) = 0$

Paso 2.1.10.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x^{2} - 5) (x - 2) (x + 1) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} - 5 = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 2.3

Establece $x^{2} - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $x^{2} - 5$ igual a $0$ .

$x^{2} - 5 = 0$

Paso 2.3.2

Resuelve $x^{2} - 5 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 5$

Paso 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

Paso 2.3.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.3.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{5}$

Paso 2.3.2.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{5}$

Paso 2.3.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Paso 2.4

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 2.4.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 2.5

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{2} - 5) (x - 2) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}, 2, - 1$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}, 2, - 1$

Forma decimal:

$x = 2.23606797 \dots, - 2.23606797 \dots, 2, - 1$

Paso 4