Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{8 x}{3 x - 7}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{8 x}{3 x - 7}$ como una ecuación.

$y = \frac{8 x}{3 x - 7}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{8 y}{3 y - 7}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica la ecuación por $3 y - 7$ .

$(3 y - 7) (x) = (\frac{8 y}{3 y - 7}) (3 y - 7)$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 y x - 7 x = (\frac{8 y}{3 y - 7}) (3 y - 7)$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $3 y - 7$ .

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Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común.

$3 y x - 7 x = \frac{8 y}{3 y - 7} (3 y - 7)$

Paso 3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$3 y x - 7 x = 8 y$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Resta $8 y$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y x - 7 x - 8 y = 0$

Paso 3.4.2

Suma $7 x$ a ambos lados de la ecuación.

$3 y x - 8 y = 7 x$

Paso 3.4.3

Factoriza $y$ de $3 y x - 8 y$ .

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Paso 3.4.3.1

Factoriza $y$ de $3 y x$ .

$y (3 x) - 8 y = 7 x$

Paso 3.4.3.2

Factoriza $y$ de $- 8 y$ .

$y (3 x) + y \cdot - 8 = 7 x$

Paso 3.4.3.3

Factoriza $y$ de $y (3 x) + y \cdot - 8$ .

$y (3 x - 8) = 7 x$

Paso 3.4.4

Divide cada término en $y (3 x - 8) = 7 x$ por $3 x - 8$ y simplifica.

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Paso 3.4.4.1

Divide cada término en $y (3 x - 8) = 7 x$ por $3 x - 8$ .

$\frac{y (3 x - 8)}{3 x - 8} = \frac{7 x}{3 x - 8}$

Paso 3.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.4.2.1

Cancela el factor común de $3 x - 8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (3 x - 8)}{3 x - 8} = \frac{7 x}{3 x - 8}$

Paso 3.4.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{7 x}{3 x - 8}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{3 x - 8}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{3 x - 8}$ es la inversa de $f (x) = \frac{8 x}{3 x - 7}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{7 (\frac{8 x}{3 x - 7})}{3 (\frac{8 x}{3 x - 7}) - 8}$

Paso 5.2.3

Combina $7$ y $\frac{8 x}{3 x - 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{3 (\frac{8 x}{3 x - 7}) - 8}$

Paso 5.2.4

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.4.1

Multiplica $3 \frac{8 x}{3 x - 7}$ .

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Paso 5.2.4.1.1

Combina $3$ y $\frac{8 x}{3 x - 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{3 (8 x)}{3 x - 7} - 8}$

Paso 5.2.4.1.2

Multiplica $8$ por $3$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{24 x}{3 x - 7} - 8}$

Paso 5.2.4.2

Para escribir $- 8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 x - 7}{3 x - 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{24 x}{3 x - 7} - 8 \cdot \frac{3 x - 7}{3 x - 7}}$

Paso 5.2.4.3

Combina $- 8$ y $\frac{3 x - 7}{3 x - 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{24 x}{3 x - 7} + \frac{- 8 (3 x - 7)}{3 x - 7}}$

Paso 5.2.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{24 x - 8 (3 x - 7)}{3 x - 7}}$

Paso 5.2.4.5

Reescribe $\frac{24 x - 8 (3 x - 7)}{3 x - 7}$ en forma factorizada.

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Paso 5.2.4.5.1

Factoriza $8$ de $24 x - 8 (3 x - 7)$ .

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Paso 5.2.4.5.1.1

Factoriza $8$ de $24 x$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{8 (3 x) - 8 (3 x - 7)}{3 x - 7}}$

Paso 5.2.4.5.1.2

Factoriza $8$ de $- 8 (3 x - 7)$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{8 (3 x) + 8 (- (3 x - 7))}{3 x - 7}}$

Paso 5.2.4.5.1.3

Factoriza $8$ de $8 (3 x) + 8 (- (3 x - 7))$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{8 (3 x - (3 x - 7))}{3 x - 7}}$

Paso 5.2.4.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{8 (3 x - (3 x) + 7)}{3 x - 7}}$

Paso 5.2.4.5.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{8 (3 x - 3 x + 7)}{3 x - 7}}$

Paso 5.2.4.5.4

Multiplica $- 1$ por $- 7$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{8 (3 x - 3 x + 7)}{3 x - 7}}$

Paso 5.2.4.5.5

Resta $3 x$ de $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{8 (0 + 7)}{3 x - 7}}$

Paso 5.2.4.5.6

Suma $0$ y $7$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{8 \cdot 7}{3 x - 7}}$

Paso 5.2.4.6

Multiplica $8$ por $7$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{56}{3 x - 7}}$

Paso 5.2.5

Multiplica $7$ por $8$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{56 x}{3 x - 7}}{\frac{56}{3 x - 7}}$

Paso 5.2.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{56 x}{3 x - 7} \cdot \frac{3 x - 7}{56}$

Paso 5.2.7

Cancela el factor común de $56$ .

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Paso 5.2.7.1

Factoriza $56$ de $56 x$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{56 (x)}{3 x - 7} \cdot \frac{3 x - 7}{56}$

Paso 5.2.7.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{56 x}{3 x - 7} \cdot \frac{3 x - 7}{56}$

Paso 5.2.7.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{x}{3 x - 7} \cdot (3 x - 7)$

Paso 5.2.8

Cancela el factor común de $3 x - 7$ .

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Paso 5.2.8.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{x}{3 x - 7} \cdot (3 x - 7)$

Paso 5.2.8.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{7 x}{3 x - 8})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{8 (\frac{7 x}{3 x - 8})}{3 (\frac{7 x}{3 x - 8}) - 7}$

Paso 5.3.3

Combina $8$ y $\frac{7 x}{3 x - 8}$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{3 (\frac{7 x}{3 x - 8}) - 7}$

Paso 5.3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.4.1

Multiplica $3 \frac{7 x}{3 x - 8}$ .

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Paso 5.3.4.1.1

Combina $3$ y $\frac{7 x}{3 x - 8}$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{3 (7 x)}{3 x - 8} - 7}$

Paso 5.3.4.1.2

Multiplica $7$ por $3$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{21 x}{3 x - 8} - 7}$

Paso 5.3.4.2

Para escribir $- 7$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 x - 8}{3 x - 8}$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{21 x}{3 x - 8} - 7 \cdot \frac{3 x - 8}{3 x - 8}}$

Paso 5.3.4.3

Combina $- 7$ y $\frac{3 x - 8}{3 x - 8}$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{21 x}{3 x - 8} + \frac{- 7 (3 x - 8)}{3 x - 8}}$

Paso 5.3.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{21 x - 7 (3 x - 8)}{3 x - 8}}$

Paso 5.3.4.5

Reescribe $\frac{21 x - 7 (3 x - 8)}{3 x - 8}$ en forma factorizada.

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Paso 5.3.4.5.1

Factoriza $7$ de $21 x - 7 (3 x - 8)$ .

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Paso 5.3.4.5.1.1

Factoriza $7$ de $21 x$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{7 (3 x) - 7 (3 x - 8)}{3 x - 8}}$

Paso 5.3.4.5.1.2

Factoriza $7$ de $- 7 (3 x - 8)$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{7 (3 x) + 7 (- (3 x - 8))}{3 x - 8}}$

Paso 5.3.4.5.1.3

Factoriza $7$ de $7 (3 x) + 7 (- (3 x - 8))$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{7 (3 x - (3 x - 8))}{3 x - 8}}$

Paso 5.3.4.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{7 (3 x - (3 x) + 8)}{3 x - 8}}$

Paso 5.3.4.5.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{7 (3 x - 3 x + 8)}{3 x - 8}}$

Paso 5.3.4.5.4

Multiplica $- 1$ por $- 8$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{7 (3 x - 3 x + 8)}{3 x - 8}}$

Paso 5.3.4.5.5

Resta $3 x$ de $3 x$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{7 (0 + 8)}{3 x - 8}}$

Paso 5.3.4.5.6

Suma $0$ y $8$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{7 \cdot 8}{3 x - 8}}$

Paso 5.3.4.6

Multiplica $7$ por $8$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{56}{3 x - 8}}$

Paso 5.3.5

Multiplica $8$ por $7$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{56 x}{3 x - 8}}{\frac{56}{3 x - 8}}$

Paso 5.3.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{56 x}{3 x - 8} \cdot \frac{3 x - 8}{56}$

Paso 5.3.7

Cancela el factor común de $56$ .

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Paso 5.3.7.1

Factoriza $56$ de $56 x$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{56 (x)}{3 x - 8} \cdot \frac{3 x - 8}{56}$

Paso 5.3.7.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{56 x}{3 x - 8} \cdot \frac{3 x - 8}{56}$

Paso 5.3.7.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{x}{3 x - 8} \cdot (3 x - 8)$

Paso 5.3.8

Cancela el factor común de $3 x - 8$ .

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Paso 5.3.8.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{x}{3 x - 8} \cdot (3 x - 8)$

Paso 5.3.8.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{3 x - 8}$ es la inversa de $f (x) = \frac{8 x}{3 x - 7}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{3 x - 8}$