Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{5}{x - 2}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{5}{x - 2}$ como una ecuación.

$y = \frac{5}{x - 2}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{5}{y - 2}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{5}{y - 2} = x$ .

$\frac{5}{y - 2} = x$

Paso 3.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y - 2, 1$

Paso 3.2.2

Elimina los paréntesis.

$y - 2, 1$

Paso 3.2.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y - 2$

Paso 3.3

Multiplica cada término en $\frac{5}{y - 2} = x$ por $y - 2$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.3.1

Multiplica cada término en $\frac{5}{y - 2} = x$ por $y - 2$ .

$\frac{5}{y - 2} (y - 2) = x (y - 2)$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $y - 2$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5}{y - 2} (y - 2) = x (y - 2)$

Paso 3.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$5 = x (y - 2)$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 = x y + x \cdot - 2$

Paso 3.3.3.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$5 = x y - 2 x$

Paso 3.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $x y - 2 x = 5$ .

$x y - 2 x = 5$

Paso 3.4.2

Suma $2 x$ a ambos lados de la ecuación.

$x y = 5 + 2 x$

Paso 3.4.3

Divide cada término en $x y = 5 + 2 x$ por $x$ y simplifica.

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Paso 3.4.3.1

Divide cada término en $x y = 5 + 2 x$ por $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{5}{x} + \frac{2 x}{x}$

Paso 3.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y}{x} = \frac{5}{x} + \frac{2 x}{x}$

Paso 3.4.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{5}{x} + \frac{2 x}{x}$

Paso 3.4.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.3.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.4.3.3.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{5}{x} + \frac{2 x}{x}$

Paso 3.4.3.3.1.2

Divide $2$ por $1$ .

$y = \frac{5}{x} + 2$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5}{x} + 2$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{5}{x} + 2$ es la inversa de $f (x) = \frac{5}{x - 2}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{5}{x - 2})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{5}{x - 2}) = \frac{5}{\frac{5}{x - 2}} + 2$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{5}{x - 2}) = 5 (\frac{x - 2}{5}) + 2$

Paso 5.2.3.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.2.3.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{5}{x - 2}) = 5 (\frac{x - 2}{5}) + 2$

Paso 5.2.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{5}{x - 2}) = x - 2 + 2$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $x - 2 + 2$ .

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Paso 5.2.4.1

Suma $- 2$ y $2$ .

$f^{- 1} (\frac{5}{x - 2}) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{5}{x - 2}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{5}{x} + 2)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{5}{x} + 2) = \frac{5}{(\frac{5}{x} + 2) - 2}$

Paso 5.3.3

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.3.1

Resta $2$ de $2$ .

$f (\frac{5}{x} + 2) = \frac{5}{\frac{5}{x} + 0}$

Paso 5.3.3.2

Suma $\frac{5}{x}$ y $0$ .

$f (\frac{5}{x} + 2) = \frac{5}{\frac{5}{x}}$

Paso 5.3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{5}{x} + 2) = 5 (\frac{x}{5})$

Paso 5.3.5

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.3.5.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{5}{x} + 2) = 5 (\frac{x}{5})$

Paso 5.3.5.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5}{x} + 2) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{5}{x} + 2$ es la inversa de $f (x) = \frac{5}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5}{x} + 2$