Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x - 3}{x + 2}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{x - 3}{x + 2}$ como una ecuación.

$y = \frac{x - 3}{x + 2}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{y - 3}{y + 2}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{y - 3}{y + 2} = x$ .

$\frac{y - 3}{y + 2} = x$

Paso 3.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y + 2, 1$

Paso 3.2.2

Elimina los paréntesis.

$y + 2, 1$

Paso 3.2.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y + 2$

Paso 3.3

Multiplica cada término en $\frac{y - 3}{y + 2} = x$ por $y + 2$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.3.1

Multiplica cada término en $\frac{y - 3}{y + 2} = x$ por $y + 2$ .

$\frac{y - 3}{y + 2} (y + 2) = x (y + 2)$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $y + 2$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y - 3}{y + 2} (y + 2) = x (y + 2)$

Paso 3.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$y - 3 = x (y + 2)$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 3 = x y + x \cdot 2$

Paso 3.3.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$y - 3 = x y + 2 x$

Paso 3.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.4.1

Resta $x y$ de ambos lados de la ecuación.

$y - 3 - x y = 2 x$

Paso 3.4.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$y - x y = 2 x + 3$

Paso 3.4.3

Factoriza $y$ de $y - x y$ .

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Paso 3.4.3.1

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - x y = 2 x + 3$

Paso 3.4.3.2

Factoriza $y$ de $- x y$ .

$y \cdot 1 + y (- x) = 2 x + 3$

Paso 3.4.3.3

Factoriza $y$ de $y \cdot 1 + y (- x)$ .

$y (1 - x) = 2 x + 3$

Paso 3.4.4

Divide cada término en $y (1 - x) = 2 x + 3$ por $1 - x$ y simplifica.

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Paso 3.4.4.1

Divide cada término en $y (1 - x) = 2 x + 3$ por $1 - x$ .

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{2 x}{1 - x} + \frac{3}{1 - x}$

Paso 3.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.4.2.1

Cancela el factor común de $1 - x$ .

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Paso 3.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{2 x}{1 - x} + \frac{3}{1 - x}$

Paso 3.4.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{2 x}{1 - x} + \frac{3}{1 - x}$

Paso 3.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{2 x + 3}{1 - x}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 3}{1 - x}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 3}{1 - x}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x - 3}{x + 2}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{2 (\frac{x - 3}{x + 2}) + 3}{1 - (\frac{x - 3}{x + 2})}$

Paso 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x + 2$ .

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Paso 5.2.3.1

Multiplica $\frac{2 \frac{x - 3}{x + 2} + 3}{1 - \frac{x - 3}{x + 2}}$ por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{x + 2}{x + 2} \cdot \frac{2 (\frac{x - 3}{x + 2}) + 3}{1 - \frac{x - 3}{x + 2}}$

Paso 5.2.3.2

Combinar.

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (2 (\frac{x - 3}{x + 2}) + 3)}{(x + 2) (1 - \frac{x - 3}{x + 2})}$

Paso 5.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (2 (\frac{x - 3}{x + 2})) + (x + 2) \cdot 3}{(x + 2) \cdot 1 + (x + 2) (- \frac{x - 3}{x + 2})}$

Paso 5.2.5

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 5.2.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x - 3}{x + 2}$ al numerador.

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (2 (\frac{x - 3}{x + 2})) + (x + 2) \cdot 3}{(x + 2) \cdot 1 + (x + 2) (\frac{- (x - 3)}{x + 2})}$

Paso 5.2.5.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (2 (\frac{x - 3}{x + 2})) + (x + 2) \cdot 3}{(x + 2) \cdot 1 + (x + 2) (\frac{- (x - 3)}{x + 2})}$

Paso 5.2.5.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (2 (\frac{x - 3}{x + 2})) + (x + 2) \cdot 3}{(x + 2) \cdot 1 - (x - 3)}$

Paso 5.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.6.1

Factoriza $x + 2$ de $(x + 2) \cdot 2 \frac{x - 3}{x + 2} + (x + 2) \cdot 3$ .

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Paso 5.2.6.1.1

Factoriza $x + 2$ de $(x + 2) \cdot 2 \frac{x - 3}{x + 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (2 (\frac{x - 3}{x + 2})) + (x + 2) \cdot 3}{(x + 2) \cdot 1 - (x - 3)}$

Paso 5.2.6.1.2

Factoriza $x + 2$ de $(x + 2) \cdot 3$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (2 (\frac{x - 3}{x + 2})) + (x + 2) (3)}{(x + 2) \cdot 1 - (x - 3)}$

Paso 5.2.6.1.3

Factoriza $x + 2$ de $(x + 2) (2 \frac{x - 3}{x + 2}) + (x + 2) (3)$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (2 (\frac{x - 3}{x + 2}) + 3)}{(x + 2) \cdot 1 - (x - 3)}$

Paso 5.2.6.2

Combina $2$ y $\frac{x - 3}{x + 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{2 (x - 3)}{x + 2} + 3)}{(x + 2) \cdot 1 - (x - 3)}$

Paso 5.2.6.3

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{2 (x - 3)}{x + 2} + \frac{3 (x + 2)}{x + 2})}{(x + 2) \cdot 1 - (x - 3)}$

Paso 5.2.6.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{2 (x - 3) + 3 (x + 2)}{x + 2})}{(x + 2) \cdot 1 - (x - 3)}$

Paso 5.2.6.5

Reordena los términos.

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{3 (x + 2) + 2 (x - 3)}{x + 2})}{(x + 2) \cdot 1 - (x - 3)}$

Paso 5.2.6.6

Reescribe $\frac{3 (x + 2) + 2 (x - 3)}{x + 2}$ en forma factorizada.

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Paso 5.2.6.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{3 x + 3 \cdot 2 + 2 (x - 3)}{x + 2})}{(x + 2) \cdot 1 - (x - 3)}$

Paso 5.2.6.6.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{3 x + 6 + 2 (x - 3)}{x + 2})}{(x + 2) \cdot 1 - (x - 3)}$

Paso 5.2.6.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{3 x + 6 + 2 x + 2 \cdot - 3}{x + 2})}{(x + 2) \cdot 1 - (x - 3)}$

Paso 5.2.6.6.4

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{3 x + 6 + 2 x - 6}{x + 2})}{(x + 2) \cdot 1 - (x - 3)}$

Paso 5.2.6.6.5

Suma $3 x$ y $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{5 x + 6 - 6}{x + 2})}{(x + 2) \cdot 1 - (x - 3)}$

Paso 5.2.6.6.6

Resta $6$ de $6$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{5 x + 0}{x + 2})}{(x + 2) \cdot 1 - (x - 3)}$

Paso 5.2.6.6.7

Suma $5 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{5 x}{x + 2})}{(x + 2) \cdot 1 - (x - 3)}$

Paso 5.2.7

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.7.1

Multiplica $x + 2$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{5 x}{x + 2})}{x + 2 - (x - 3)}$

Paso 5.2.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{5 x}{x + 2})}{x + 2 - x + 3}$

Paso 5.2.7.3

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{5 x}{x + 2})}{x + 2 - x + 3}$

Paso 5.2.7.4

Resta $x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{5 x}{x + 2})}{0 + 2 + 3}$

Paso 5.2.7.5

Suma $0$ y $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{5 x}{x + 2})}{2 + 3}$

Paso 5.2.7.6

Suma $2$ y $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{5 x}{x + 2})}{5}$

Paso 5.2.8

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.8.1

Factoriza $\frac{5 x}{x + 2}$ de $\frac{(x + 2) \frac{5 x}{x + 2}}{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{5 x}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{5}$

Paso 5.2.8.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.2.8.2.1

Factoriza $5$ de $5 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{5 (x)}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{5}$

Paso 5.2.8.2.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{5 x}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{5}$

Paso 5.2.8.2.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{x}{x + 2} \cdot (x + 2)$

Paso 5.2.8.3

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 5.2.8.3.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{x}{x + 2} \cdot (x + 2)$

Paso 5.2.8.3.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{2 x + 3}{1 - x})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{(\frac{2 x + 3}{1 - x}) - 3}{(\frac{2 x + 3}{1 - x}) + 2}$

Paso 5.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $1 - x$ .

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Paso 5.3.3.1

Multiplica $\frac{\frac{2 x + 3}{1 - x} - 3}{\frac{2 x + 3}{1 - x} + 2}$ por $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{1 - x}{1 - x} \cdot \frac{\frac{2 x + 3}{1 - x} - 3}{\frac{2 x + 3}{1 - x} + 2}$

Paso 5.3.3.2

Combinar.

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{(1 - x) (\frac{2 x + 3}{1 - x} - 3)}{(1 - x) (\frac{2 x + 3}{1 - x} + 2)}$

Paso 5.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{(1 - x) (\frac{2 x + 3}{1 - x}) + (1 - x) \cdot - 3}{(1 - x) (\frac{2 x + 3}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 2}$

Paso 5.3.5

Simplifica mediante la cancelación.

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Paso 5.3.5.1

Cancela el factor común de $1 - x$ .

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Paso 5.3.5.1.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{(1 - x) (\frac{2 x + 3}{1 - x}) + (1 - x) \cdot - 3}{(1 - x) (\frac{2 x + 3}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 2}$

Paso 5.3.5.1.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{2 x + 3 + (1 - x) \cdot - 3}{(1 - x) (\frac{2 x + 3}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 2}$

Paso 5.3.5.2

Cancela el factor común de $1 - x$ .

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Paso 5.3.5.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{2 x + 3 + (1 - x) \cdot - 3}{(1 - x) (\frac{2 x + 3}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 2}$

Paso 5.3.5.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{2 x + 3 + (1 - x) \cdot - 3}{2 x + 3 + (1 - x) \cdot 2}$

Paso 5.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{2 x + 3 + 1 \cdot - 3 - x \cdot - 3}{2 x + 3 + (1 - x) \cdot 2}$

Paso 5.3.6.2

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{2 x + 3 - 3 - x \cdot - 3}{2 x + 3 + (1 - x) \cdot 2}$

Paso 5.3.6.3

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{2 x + 3 - 3 + 3 x}{2 x + 3 + (1 - x) \cdot 2}$

Paso 5.3.6.4

Suma $2 x$ y $3 x$ .

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{5 x + 3 - 3}{2 x + 3 + (1 - x) \cdot 2}$

Paso 5.3.6.5

Resta $3$ de $3$ .

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{5 x + 0}{2 x + 3 + (1 - x) \cdot 2}$

Paso 5.3.6.6

Suma $5 x$ y $0$ .

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{5 x}{2 x + 3 + (1 - x) \cdot 2}$

Paso 5.3.7

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{5 x}{2 x + 3 + 1 \cdot 2 - x \cdot 2}$

Paso 5.3.7.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{5 x}{2 x + 3 + 2 - x \cdot 2}$

Paso 5.3.7.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{5 x}{2 x + 3 + 2 - 2 x}$

Paso 5.3.7.4

Resta $2 x$ de $2 x$ .

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{5 x}{0 + 3 + 2}$

Paso 5.3.7.5

Suma $0$ y $3$ .

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{5 x}{3 + 2}$

Paso 5.3.7.6

Suma $3$ y $2$ .

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{5 x}{5}$

Paso 5.3.8

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.3.8.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{5 x}{5}$

Paso 5.3.8.2

Divide $x$ por $1$ .

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 3}{1 - x}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x - 3}{x + 2}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 3}{1 - x}$