Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{2 x + 1}{x}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{2 x + 1}{x}$ como una ecuación.

$y = \frac{2 x + 1}{x}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{2 y + 1}{y}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{2 y + 1}{y} = x$ .

$\frac{2 y + 1}{y} = x$

Paso 3.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y, 1$

Paso 3.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y$

Paso 3.3

Multiplica cada término en $\frac{2 y + 1}{y} = x$ por $y$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.3.1

Multiplica cada término en $\frac{2 y + 1}{y} = x$ por $y$ .

$\frac{2 y + 1}{y} y = x y$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y + 1}{y} y = x y$

Paso 3.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$2 y + 1 = x y$

Paso 3.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.4.1

Resta $x y$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y + 1 - x y = 0$

Paso 3.4.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y - x y = - 1$

Paso 3.4.3

Factoriza $y$ de $2 y - x y$ .

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Paso 3.4.3.1

Factoriza $y$ de $2 y$ .

$y \cdot 2 - x y = - 1$

Paso 3.4.3.2

Factoriza $y$ de $- x y$ .

$y \cdot 2 + y (- x) = - 1$

Paso 3.4.3.3

Factoriza $y$ de $y \cdot 2 + y (- x)$ .

$y (2 - x) = - 1$

Paso 3.4.4

Divide cada término en $y (2 - x) = - 1$ por $2 - x$ y simplifica.

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Paso 3.4.4.1

Divide cada término en $y (2 - x) = - 1$ por $2 - x$ .

$\frac{y (2 - x)}{2 - x} = \frac{- 1}{2 - x}$

Paso 3.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.4.2.1

Cancela el factor común de $2 - x$ .

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Paso 3.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (2 - x)}{2 - x} = \frac{- 1}{2 - x}$

Paso 3.4.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 1}{2 - x}$

Paso 3.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{1}{2 - x}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = - \frac{1}{2 - x}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = - \frac{1}{2 - x}$ es la inversa de $f (x) = \frac{2 x + 1}{x}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{2 - (\frac{2 x + 1}{x})}$

Paso 5.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.3.1

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{\frac{2 x}{x} - \frac{2 x + 1}{x}}$

Paso 5.2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{\frac{2 x - (2 x + 1)}{x}}$

Paso 5.2.3.3

Reescribe $\frac{2 x - (2 x + 1)}{x}$ en forma factorizada.

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Paso 5.2.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{\frac{2 x - (2 x) - 1 \cdot 1}{x}}$

Paso 5.2.3.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{\frac{2 x - 2 x - 1 \cdot 1}{x}}$

Paso 5.2.3.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{\frac{2 x - 2 x - 1}{x}}$

Paso 5.2.3.3.4

Resta $2 x$ de $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{\frac{0 - 1}{x}}$

Paso 5.2.3.3.5

Resta $1$ de $0$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{\frac{- 1}{x}}$

Paso 5.2.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{- \frac{1}{x}}$

Paso 5.2.4

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 5.2.4.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{1}{x}}$

Paso 5.2.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Paso 5.2.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = 1 x$

Paso 5.2.6

Multiplica $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (- \frac{1}{2 - x})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (- \frac{1}{2 - x}) = \frac{2 (- \frac{1}{2 - x}) + 1}{- \frac{1}{2 - x}}$

Paso 5.3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (- \frac{1}{2 - x}) = (2 (- \frac{1}{2 - x}) + 1) (- (2 - x))$

Paso 5.3.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.4.1

Multiplica $2 (- \frac{1}{2 - x})$ .

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Paso 5.3.4.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (- \frac{1}{2 - x}) = (- 2 \frac{1}{2 - x} + 1) (- (2 - x))$

Paso 5.3.4.1.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2 - x}$ .

$f (- \frac{1}{2 - x}) = (\frac{- 2}{2 - x} + 1) (- (2 - x))$

Paso 5.3.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{1}{2 - x}) = (- \frac{2}{2 - x} + 1) (- (2 - x))$

Paso 5.3.5

Simplifica los términos.

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Paso 5.3.5.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f (- \frac{1}{2 - x}) = (- \frac{2}{2 - x} + \frac{2 - x}{2 - x}) (- (2 - x))$

Paso 5.3.5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{1}{2 - x}) = \frac{- 2 + 2 - x}{2 - x} \cdot (- (2 - x))$

Paso 5.3.5.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f (- \frac{1}{2 - x}) = - \frac{- 2 + 2 - x}{2 - x} \cdot (2 - x)$

Paso 5.3.5.4

Cancela el factor común de $2 - x$ .

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Paso 5.3.5.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{- 2 + 2 - x}{2 - x}$ al numerador.

$f (- \frac{1}{2 - x}) = \frac{- (- 2 + 2 - x)}{2 - x} \cdot (2 - x)$

Paso 5.3.5.4.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{1}{2 - x}) = \frac{- (- 2 + 2 - x)}{2 - x} \cdot (2 - x)$

Paso 5.3.5.4.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{1}{2 - x}) = - (- 2 + 2 - x)$

Paso 5.3.5.5

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 5.3.5.5.1

Suma $- 2$ y $2$ .

$f (- \frac{1}{2 - x}) = - (0 - x)$

Paso 5.3.5.5.2

Resta $x$ de $0$ .

$f (- \frac{1}{2 - x}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = - \frac{1}{2 - x}$ es la inversa de $f (x) = \frac{2 x + 1}{x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{1}{2 - x}$