Precálculo Ejemplos

$f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$

Paso 1

Escribe $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$ como una ecuación.

$y = 1 + \sqrt{1 + x}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 1 + \sqrt{1 + y}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $1 + \sqrt{1 + y} = x$ .

$1 + \sqrt{1 + y} = x$

Paso 3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{1 + y} = x - 1$

Paso 3.3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{1 + y}}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Paso 3.4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 + y}$ como ${(1 + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica ${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.4.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(1 + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(1 + y)}^{1} = {(x - 1)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.2

Simplifica.

$1 + y = {(x - 1)}^{2}$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

Simplifica ${(x - 1)}^{2}$ .

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Paso 3.4.3.1.1

Reescribe ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$1 + y = (x - 1) (x - 1)$

Paso 3.4.3.1.2

Expande $(x - 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.4.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 + y = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

Paso 3.4.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 + y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

Paso 3.4.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1 + y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Paso 3.4.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.4.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.3.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$1 + y = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Paso 3.4.3.1.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$1 + y = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Paso 3.4.3.1.3.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$1 + y = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Paso 3.4.3.1.3.1.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$1 + y = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

Paso 3.4.3.1.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 + y = x^{2} - x - x + 1$

Paso 3.4.3.1.3.2

Resta $x$ de $- x$ .

$1 + y = x^{2} - 2 x + 1$

Paso 3.5

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.5.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = x^{2} - 2 x + 1 - 1$

Paso 3.5.2

Combina los términos opuestos en $x^{2} - 2 x + 1 - 1$ .

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Paso 3.5.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$y = x^{2} - 2 x + 0$

Paso 3.5.2.2

Suma $x^{2} - 2 x$ y $0$ .

$y = x^{2} - 2 x$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ es la inversa de $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = {(1 + \sqrt{1 + x})}^{2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Reescribe ${(1 + \sqrt{1 + x})}^{2}$ como $(1 + \sqrt{1 + x}) (1 + \sqrt{1 + x})$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = (1 + \sqrt{1 + x}) (1 + \sqrt{1 + x}) - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Paso 5.2.3.2

Expande $(1 + \sqrt{1 + x}) (1 + \sqrt{1 + x})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 (1 + \sqrt{1 + x}) + \sqrt{1 + x} (1 + \sqrt{1 + x}) - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Paso 5.2.3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} (1 + \sqrt{1 + x}) - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Paso 5.2.3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \cdot 1 + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Paso 5.2.3.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.3.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + 1 \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \cdot 1 + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Paso 5.2.3.3.1.2

Multiplica $\sqrt{1 + x}$ por $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \cdot 1 + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Paso 5.2.3.3.1.3

Multiplica $\sqrt{1 + x}$ por $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Paso 5.2.3.3.1.4

Multiplica $\sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x}$ .

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Paso 5.2.3.3.1.4.1

Eleva $\sqrt{1 + x}$ a la potencia de $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Paso 5.2.3.3.1.4.2

Eleva $\sqrt{1 + x}$ a la potencia de $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Paso 5.2.3.3.1.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {\sqrt{1 + x}}^{1 + 1} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Paso 5.2.3.3.1.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {\sqrt{1 + x}}^{2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Paso 5.2.3.3.1.5

Reescribe ${\sqrt{1 + x}}^{2}$ como $1 + x$ .

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Paso 5.2.3.3.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 + x}$ como ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Paso 5.2.3.3.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Paso 5.2.3.3.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {(1 + x)}^{\frac{2}{2}} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Paso 5.2.3.3.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.3.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {(1 + x)}^{\frac{2}{2}} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Paso 5.2.3.3.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + 1 + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Paso 5.2.3.3.1.5.5

Simplifica.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + 1 + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Paso 5.2.3.3.2

Suma $1$ y $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Paso 5.2.3.3.3

Suma $\sqrt{1 + x}$ y $\sqrt{1 + x}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Paso 5.2.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 \cdot 1 - 2 \sqrt{1 + x}$

Paso 5.2.3.5

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 - 2 \sqrt{1 + x}$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 - 2 \sqrt{1 + x}$ .

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Paso 5.2.4.1

Resta $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 0 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 \sqrt{1 + x}$

Paso 5.2.4.2

Suma $0$ y $2 \sqrt{1 + x}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 \sqrt{1 + x}$

Paso 5.2.4.3

Resta $2 \sqrt{1 + x}$ de $2 \sqrt{1 + x}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = x + 0$

Paso 5.2.4.4

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (x^{2} - 2 x)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1 + x^{2} - 2 x}$

Paso 5.3.3

Elimina los paréntesis.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1 + x^{2} - 2 x}$

Paso 5.3.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.4.1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 5.3.4.1.1

Reorganiza los términos.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1 - 2 x + x^{2}}$

Paso 5.3.4.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1^{2} - 2 x + x^{2}}$

Paso 5.3.4.1.3

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 x = 2 \cdot 1 \cdot x$

Paso 5.3.4.1.4

Reescribe el polinomio.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot x + x^{2}}$

Paso 5.3.4.1.5

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 5.3.4.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + 1 - x$

Paso 5.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.5.1

Suma $1$ y $1$ .

$f (x^{2} - 2 x) = 2 - x$

Paso 5.3.5.2

Reordena $2$ y $- x$ .

$f (x^{2} - 2 x) = - x + 2$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ es la inversa de $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$