Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{3 - 2 x}{x}$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = \frac{3 - 2 (x + h)}{x + h}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = \frac{3 - 2 x - 2 h}{x + h}$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $\frac{3 - 2 x - 2 h}{x + h}$ .

$\frac{3 - 2 x - 2 h}{x + h}$

Paso 2.2

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = \frac{3 - 2 x - 2 h}{x + h}$

$f (x) = \frac{3 - 2 x}{x}$

$f (x + h) = \frac{3 - 2 x - 2 h}{x + h}$

$f (x) = \frac{3 - 2 x}{x}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{3 - 2 x - 2 h}{x + h} - (\frac{3 - 2 x}{x})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Para escribir $\frac{3 - 2 x - 2 h}{x + h}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - 2 h}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{3 - 2 x}{x}}{h}$

Paso 4.1.2

Para escribir $- \frac{3 - 2 x}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - 2 h}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{3 - 2 x}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Paso 4.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + h) x$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1.3.1

Multiplica $\frac{3 - 2 x - 2 h}{x + h}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{(3 - 2 x - 2 h) x}{(x + h) x} - \frac{3 - 2 x}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Paso 4.1.3.2

Multiplica $\frac{3 - 2 x}{x}$ por $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{(3 - 2 x - 2 h) x}{(x + h) x} - \frac{(3 - 2 x) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.3.3

Reordena los factores de $(x + h) x$ .

$\frac{\frac{(3 - 2 x - 2 h) x}{x (x + h)} - \frac{(3 - 2 x) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{(3 - 2 x - 2 h) x - (3 - 2 x) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5

Reescribe $\frac{(3 - 2 x - 2 h) x - (3 - 2 x) (x + h)}{x (x + h)}$ en forma factorizada.

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Paso 4.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{3 x - 2 x \cdot x - 2 h x - (3 - 2 x) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.5.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{\frac{3 x - 2 (x \cdot x) - 2 h x - (3 - 2 x) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{\frac{3 x - 2 x^{2} - 2 h x - (3 - 2 x) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{3 x - 2 x^{2} - 2 h x + (- 1 \cdot 3 - (- 2 x)) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{\frac{3 x - 2 x^{2} - 2 h x + (- 3 - (- 2 x)) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.5

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{3 x - 2 x^{2} - 2 h x + (- 3 + 2 x) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.6

Expande $(- 3 + 2 x) (x + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.5.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{3 x - 2 x^{2} - 2 h x - 3 (x + h) + 2 x (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{3 x - 2 x^{2} - 2 h x - 3 x - 3 h + 2 x (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{3 x - 2 x^{2} - 2 h x - 3 x - 3 h + 2 x \cdot x + 2 x h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.7

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.5.7.1

Mueve $x$ .

$\frac{\frac{3 x - 2 x^{2} - 2 h x - 3 x - 3 h + 2 (x \cdot x) + 2 x h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.7.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{\frac{3 x - 2 x^{2} - 2 h x - 3 x - 3 h + 2 x^{2} + 2 x h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.8

Resta $3 x$ de $3 x$ .

$\frac{\frac{- 2 x^{2} - 2 h x + 0 - 3 h + 2 x^{2} + 2 x h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.9

Suma $- 2 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{\frac{- 2 x^{2} - 2 h x - 3 h + 2 x^{2} + 2 x h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.10

Suma $- 2 x^{2}$ y $2 x^{2}$ .

$\frac{\frac{- 2 h x - 3 h + 0 + 2 x h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.11

Suma $- 2 h x$ y $0$ .

$\frac{\frac{- 2 h x - 3 h + 2 x h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.12

Suma $- 2 h x$ y $2 x h$ .

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Paso 4.1.5.12.1

Mueve $h$ .

$\frac{\frac{- 3 h - 2 x h + 2 x h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.12.2

Suma $- 2 x h$ y $2 x h$ .

$\frac{\frac{- 3 h + 0}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.13

Suma $- 3 h$ y $0$ .

$\frac{\frac{- 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{- \frac{3 h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{3 h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3 h}{x (x + h)}$ al numerador.

$\frac{- 3 h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.2

Factoriza $h$ de $- 3 h$ .

$\frac{h \cdot - 3}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{h \cdot - 3}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- 3}{x (x + h)}$

Paso 4.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{x (x + h)}$

Paso 5