Precálculo Ejemplos

$x^{2} + y^{2} = 25$ , $x + y = 8$

Paso 1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$x = 8 - y$

$x^{2} + y^{2} = 25$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $8 - y$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $x^{2} + y^{2} = 25$ por $8 - y$ .

${(8 - y)}^{2} + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${(8 - y)}^{2} + y^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Reescribe ${(8 - y)}^{2}$ como $(8 - y) (8 - y)$ .

$(8 - y) (8 - y) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

Paso 2.2.1.1.2

Expande $(8 - y) (8 - y)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$8 (8 - y) - y (8 - y) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

Paso 2.2.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$8 \cdot 8 + 8 (- y) - y (8 - y) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

Paso 2.2.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$8 \cdot 8 + 8 (- y) - y \cdot 8 - y (- y) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

$8 \cdot 8 + 8 (- y) - y \cdot 8 - y (- y) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

Paso 2.2.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.2.1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.3.1.1

Multiplica $8$ por $8$ .

$64 + 8 (- y) - y \cdot 8 - y (- y) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

Paso 2.2.1.1.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$64 - 8 y - y \cdot 8 - y (- y) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

Paso 2.2.1.1.3.1.3

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$64 - 8 y - 8 y - y (- y) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

Paso 2.2.1.1.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$64 - 8 y - 8 y - 1 \cdot (- 1 y \cdot y) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

Paso 2.2.1.1.3.1.5

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.1.1.3.1.5.1

Mueve $y$ .

$64 - 8 y - 8 y - 1 \cdot (- 1 (y \cdot y)) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

Paso 2.2.1.1.3.1.5.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$64 - 8 y - 8 y - 1 \cdot (- 1 y^{2}) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

$64 - 8 y - 8 y - 1 \cdot (- 1 y^{2}) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

Paso 2.2.1.1.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$64 - 8 y - 8 y + 1 y^{2} + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

Paso 2.2.1.1.3.1.7

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$64 - 8 y - 8 y + y^{2} + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

$64 - 8 y - 8 y + y^{2} + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

Paso 2.2.1.1.3.2

Resta $8 y$ de $- 8 y$ .

$64 - 16 y + y^{2} + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

$64 - 16 y + y^{2} + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

$64 - 16 y + y^{2} + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

Paso 2.2.1.2

Suma $y^{2}$ y $y^{2}$ .

$64 - 16 y + 2 y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

$64 - 16 y + 2 y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

$64 - 16 y + 2 y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

$64 - 16 y + 2 y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

Paso 3

Resuelve $y$ en $64 - 16 y + 2 y^{2} = 25$ .

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Paso 3.1

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

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Paso 3.1.1

Resta $25$ de ambos lados de la ecuación.

$64 - 16 y + 2 y^{2} - 25 = 0$

$x = 8 - y$

Paso 3.1.2

Resta $25$ de $64$ .

$- 16 y + 2 y^{2} + 39 = 0$

$x = 8 - y$

$- 16 y + 2 y^{2} + 39 = 0$

$x = 8 - y$

Paso 3.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$x = 8 - y$

Paso 3.3

Sustituye los valores $a = 2$ , $b = - 16$ y $c = 39$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 39)}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1.1

Eleva $- 16$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 2 \cdot 39}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Paso 3.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 39$ .

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Paso 3.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 8 \cdot 39}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Paso 3.4.1.2.2

Multiplica $- 8$ por $39$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 312}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 312}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Paso 3.4.1.3

Resta $312$ de $256$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Paso 3.4.1.4

Reescribe $- 56$ como $- 1 (56)$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 1 \cdot 56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Paso 3.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (56)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{56}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Paso 3.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Paso 3.4.1.7

Reescribe $56$ como $2^{2} \cdot 14$ .

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Paso 3.4.1.7.1

Factoriza $4$ de $56$ .

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Paso 3.4.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Paso 3.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{16 \pm i \cdot (2 \sqrt{14})}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Paso 3.4.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$y = \frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Paso 3.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{4}$

$x = 8 - y$

Paso 3.4.3

Simplifica $\frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{4}$ .

$y = \frac{8 \pm i \sqrt{14}}{2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{8 \pm i \sqrt{14}}{2}$

$x = 8 - y$

Paso 3.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 3.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1.1

Eleva $- 16$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 2 \cdot 39}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Paso 3.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 39$ .

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Paso 3.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 8 \cdot 39}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Paso 3.5.1.2.2

Multiplica $- 8$ por $39$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 312}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 312}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Paso 3.5.1.3

Resta $312$ de $256$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Paso 3.5.1.4

Reescribe $- 56$ como $- 1 (56)$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 1 \cdot 56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Paso 3.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (56)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{56}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Paso 3.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Paso 3.5.1.7

Reescribe $56$ como $2^{2} \cdot 14$ .

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Paso 3.5.1.7.1

Factoriza $4$ de $56$ .

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Paso 3.5.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Paso 3.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{16 \pm i \cdot (2 \sqrt{14})}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Paso 3.5.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$y = \frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Paso 3.5.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{4}$

$x = 8 - y$

Paso 3.5.3

Simplifica $\frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{4}$ .

$y = \frac{8 \pm i \sqrt{14}}{2}$

$x = 8 - y$

Paso 3.5.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

$x = 8 - y$

Paso 3.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 3.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1.1

Eleva $- 16$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 2 \cdot 39}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Paso 3.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 39$ .

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Paso 3.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 8 \cdot 39}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Paso 3.6.1.2.2

Multiplica $- 8$ por $39$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 312}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 312}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Paso 3.6.1.3

Resta $312$ de $256$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Paso 3.6.1.4

Reescribe $- 56$ como $- 1 (56)$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 1 \cdot 56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Paso 3.6.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (56)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{56}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Paso 3.6.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Paso 3.6.1.7

Reescribe $56$ como $2^{2} \cdot 14$ .

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Paso 3.6.1.7.1

Factoriza $4$ de $56$ .

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Paso 3.6.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Paso 3.6.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{16 \pm i \cdot (2 \sqrt{14})}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Paso 3.6.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$y = \frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

Paso 3.6.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{4}$

$x = 8 - y$

Paso 3.6.3

Simplifica $\frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{4}$ .

$y = \frac{8 \pm i \sqrt{14}}{2}$

$x = 8 - y$

Paso 3.6.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$x = 8 - y$

Paso 3.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}, \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}, \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$x = 8 - y$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $\frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = 8 - y$ por $\frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$ .

$x = 8 - (\frac{8 + i \sqrt{14}}{2})$

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $8 - (\frac{8 + i \sqrt{14}}{2})$ .

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Paso 4.2.1.1

Para escribir $8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = 8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

Paso 4.2.1.2

Combina $8$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

Paso 4.2.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

$x = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

$x = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

$x = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

Paso 5

Reemplaza todos los casos de $y$ por $\frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$ en cada ecuación.

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Paso 5.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = 8 - y$ por $\frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$ .

$x = 8 - (\frac{8 - i \sqrt{14}}{2})$

$y = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Simplifica $8 - (\frac{8 - i \sqrt{14}}{2})$ .

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Paso 5.2.1.1

Para escribir $8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = 8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$y = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

Paso 5.2.1.2

Combina $8$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$y = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

Paso 5.2.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{8 + \sqrt{14} i}{2}$

$y = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$x = \frac{8 + \sqrt{14} i}{2}$

$y = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$x = \frac{8 + \sqrt{14} i}{2}$

$y = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$x = \frac{8 + \sqrt{14} i}{2}$

$y = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

Paso 6

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}, y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

$x = \frac{8 + \sqrt{14} i}{2}, y = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

Paso 7