Precálculo Ejemplos

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{4} = 1$

Paso 1

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{4} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = 2$

$b = 2$

$k = 0$

$h = 0$

Paso 4

El centro de una hipérbola sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(0, 0)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(2)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{4 + {(2)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{4 + 4}$

Paso 5.3.3

Suma $4$ y $4$ .

$\sqrt{8}$

Paso 5.3.4

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 5.3.4.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\sqrt{4 (2)}$

Paso 5.3.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Paso 5.3.5

Retira los términos de abajo del radical.

$2 \sqrt{2}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una hipérbola puede obtenerse al sumar $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(2, 0)$

Paso 6.3

El segundo vértice de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $a$ de $h$ .

$(h - a, k)$

Paso 6.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 2, 0)$

Paso 6.5

Los vértices de una hipérbola siguen la forma de $(h \pm a, k)$ . Las hipérbolas tienen dos vértices.

$(2, 0), (- 2, 0)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una hipérbola puede obtenerse al sumar $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(2 \sqrt{2}, 0)$

Paso 7.3

El segundo foco de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 2 \sqrt{2}, 0)$

Paso 7.5

Los focos de una hipérbola siguen la forma de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Las hipérbolas tienen dos focos.

$(2 \sqrt{2}, 0), (- 2 \sqrt{2}, 0)$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(2)}^{2}}}{2}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2^{2}}}{2}$

Paso 8.3.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4}}{2}$

Paso 8.3.1.3

Suma $4$ y $4$ .

$\frac{\sqrt{8}}{2}$

Paso 8.3.1.4

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 8.3.1.4.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{\sqrt{4 (2)}}{2}$

Paso 8.3.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2}$

Paso 8.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 8.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 8.3.2.2

Divide $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\sqrt{2}$

Paso 9

Las asíntotas siguen la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ porque esta hipérbola abre hacia la izquierda y la derecha.

$y = \pm 1 \cdot x + 0$

Paso 10

Simplifica $1 \cdot x + 0$ .

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Paso 10.1

Suma $1 \cdot x$ y $0$ .

$y = 1 \cdot x$

Paso 10.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$y = x$

Paso 11

Simplifica $- 1 \cdot x + 0$ .

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Paso 11.1

Suma $- 1 \cdot x$ y $0$ .

$y = - 1 \cdot x$

Paso 11.2

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$y = - x$

Paso 12

Esta hipérbola tiene dos asíntotas.

$y = x, y = - x$

Paso 13

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una hipérbola.

Centro: $(0, 0)$

Vértices: $(2, 0), (- 2, 0)$

Focos: $(2 \sqrt{2}, 0), (- 2 \sqrt{2}, 0)$

Excentricidad: $\sqrt{2}$

Parámetro focal: $\sqrt{2}$

Asíntotas: $y = x$ , $y = - x$

Paso 14