Precálculo Ejemplos

$x^{2} + 4 x + 4 y^{2} - 8 y + 4 = 0$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la elipse.

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Paso 1.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 4 x + 4 y^{2} - 8 y = - 4$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $x^{2} + 4 x$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = 4$

$c = 0$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{2}{1}$

Paso 1.2.3.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$d = 2$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Cancela el factor común de $4^{2}$ y $4$ .

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Paso 1.2.4.2.1.1.1

Factoriza $4$ de $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.2.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.1.1.2.1

Factoriza $4$ de $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Paso 1.2.4.2.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.2.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Paso 1.2.4.2.1.1.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Paso 1.2.4.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = 0 - 4$

Paso 1.2.4.2.2

Resta $4$ de $0$ .

$e = - 4$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x + 2)}^{2} - 4$ .

${(x + 2)}^{2} - 4$

Paso 1.3

Sustituye ${(x + 2)}^{2} - 4$ por $x^{2} + 4 x$ en la ecuación $x^{2} + 4 x + 4 y^{2} - 8 y = - 4$ .

${(x + 2)}^{2} - 4 + 4 y^{2} - 8 y = - 4$

Paso 1.4

Mueve $- 4$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $4$ a ambos lados.

${(x + 2)}^{2} + 4 y^{2} - 8 y = - 4 + 4$

Paso 1.5

Completa el cuadrado de $4 y^{2} - 8 y$ .

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Paso 1.5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 4$

$b = - 8$

$c = 0$

Paso 1.5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 4}$

Paso 1.5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 8$ y $2$ .

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Paso 1.5.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Paso 1.5.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (4)}$

Paso 1.5.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Paso 1.5.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 4}{4}$

Paso 1.5.3.2.2

Cancela el factor común de $- 4$ y $4$ .

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Paso 1.5.3.2.2.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4}$

Paso 1.5.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.2.2.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)}$

Paso 1.5.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1}$

Paso 1.5.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 1}{1}$

Paso 1.5.3.2.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Paso 1.5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Paso 1.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.4.2.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Paso 1.5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Paso 1.5.4.2.1.3

Divide $64$ por $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Paso 1.5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = 0 - 4$

Paso 1.5.4.2.2

Resta $4$ de $0$ .

$e = - 4$

Paso 1.5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $4 {(y - 1)}^{2} - 4$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 4$

Paso 1.6

Sustituye $4 {(y - 1)}^{2} - 4$ por $4 y^{2} - 8 y$ en la ecuación $x^{2} + 4 x + 4 y^{2} - 8 y = - 4$ .

${(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} - 4 = - 4 + 4$

Paso 1.7

Mueve $- 4$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $4$ a ambos lados.

${(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} = - 4 + 4 + 4$

Paso 1.8

Simplifica $- 4 + 4 + 4$ .

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Paso 1.8.1

Suma $- 4$ y $4$ .

${(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} = 0 + 4$

Paso 1.8.2

Suma $0$ y $4$ .

${(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} = 4$

Paso 1.9

Divide cada término por $4$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{4} + \frac{4 {(y - 1)}^{2}}{4} = \frac{4}{4}$

Paso 1.10

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{4} + {(y - 1)}^{2} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una elipse. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener el centro, junto con los ejes mayor y menor de la elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta elipse con los de la ecuación ordinaria. La variable $a$ representa el radio del eje mayor de la elipse, $b$ representa el radio del eje menor de la elipse, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$a = 2$

$b = 1$

$k = 1$

$h = - 2$

Paso 4

El centro de una elipse sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(- 2, 1)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la elipse con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(2)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{4 - {(1)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{4 - 1 \cdot 1}$

Paso 5.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\sqrt{4 - 1}$

Paso 5.3.4

Resta $1$ de $4$ .

$\sqrt{3}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una elipse puede obtenerse al sumar $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(- 2 + 2, 1)$

Paso 6.3

Simplifica.

$(0, 1)$

Paso 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Paso 6.5

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(- 2 - (2), 1)$

Paso 6.6

Simplifica.

$(- 4, 1)$

Paso 6.7

Las elipses tienen dos vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 4, 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 4, 1)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una elipse puede obtenerse al sumar $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(- 2 + \sqrt{3}, 1)$

Paso 7.3

El segundo foco de una elipse puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(- 2 - (\sqrt{3}), 1)$

Paso 7.5

Simplifica.

$(- 2 - \sqrt{3}, 1)$

Paso 7.6

Las elipses tienen dos focos.

${Focus}_{1}$ : $(- 2 + \sqrt{3}, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 - \sqrt{3}, 1)$

${Focus}_{1}$ : $(- 2 + \sqrt{3}, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 - \sqrt{3}, 1)$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} - {(1)}^{2}}}{2}$

Paso 8.3

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{4 - 1^{2}}}{2}$

Paso 8.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{\sqrt{4 - 1 \cdot 1}}{2}$

Paso 8.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{4 - 1}}{2}$

Paso 8.3.4

Resta $1$ de $4$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 9

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una elipse.

Centro: $(- 2, 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 4, 1)$

${Focus}_{1}$ : $(- 2 + \sqrt{3}, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 - \sqrt{3}, 1)$

Excentricidad: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 10