Precálculo Ejemplos

$\sin (2 θ) = \cos (2 θ)$

Paso 1

Divide cada término en la ecuación por $\cos (2 θ)$ .

$\frac{\sin (2 θ)}{\cos (2 θ)} = \frac{\cos (2 θ)}{\cos (2 θ)}$

Paso 2

Convierte de $\frac{\sin (2 θ)}{\cos (2 θ)}$ a $\tan (2 θ)$ .

$\tan (2 θ) = \frac{\cos (2 θ)}{\cos (2 θ)}$

Paso 3

Cancela el factor común de $\cos (2 θ)$ .

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Paso 3.1

Cancela el factor común.

$\tan (2 θ) = \frac{\cos (2 θ)}{\cos (2 θ)}$

Paso 3.2

Reescribe la expresión.

$\tan (2 θ) = 1$

Paso 4

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de la tangente.

$2 θ = \arctan (1)$

Paso 5

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1

El valor exacto de $\arctan (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$2 θ = \frac{π}{4}$

Paso 6

Divide cada término en $2 θ = \frac{π}{4}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 6.1

Divide cada término en $2 θ = \frac{π}{4}$ por $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Paso 6.2.1.2

Divide $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$θ = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 6.3.2

Multiplica $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 6.3.2.1

Multiplica $\frac{π}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{π}{4 \cdot 2}$

Paso 6.3.2.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$θ = \frac{π}{8}$

Paso 7

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$2 θ = π + \frac{π}{4}$

Paso 8

Resuelve $θ$

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Paso 8.1

Simplifica.

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Paso 8.1.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$2 θ = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 8.1.2

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$2 θ = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 8.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 θ = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Paso 8.1.4

Suma $π \cdot 4$ y $π$ .

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Paso 8.1.4.1

Reordena $π$ y $4$ .

$2 θ = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Paso 8.1.4.2

Suma $4 \cdot π$ y $π$ .

$2 θ = \frac{5 \cdot π}{4}$

Paso 8.2

Divide cada término en $2 θ = \frac{5 \cdot π}{4}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 8.2.1

Divide cada término en $2 θ = \frac{5 \cdot π}{4}$ por $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Paso 8.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Paso 8.2.2.1.2

Divide $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Paso 8.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$θ = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 8.2.3.2

Multiplica $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 8.2.3.2.1

Multiplica $\frac{5 π}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{5 π}{4 \cdot 2}$

Paso 8.2.3.2.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$θ = \frac{5 π}{8}$

Paso 9

Obtén el período de $\tan (2 θ)$ .

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Paso 9.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 9.2

Reemplaza $b$ con $2$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 2 |}$

Paso 9.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{π}{2}$

Paso 10

El período de la función $\tan (2 θ)$ es $\frac{π}{2}$ , por lo que los valores se repetirán cada $\frac{π}{2}$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 11

Consolida las respuestas.

$θ = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$