Precálculo Ejemplos

$- \ln (x - 1) + 3$

Paso 1

Obtén las asíntotas.

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Paso 1.1

Obtén dónde la expresión $- \ln (x - 1) + 3$ no está definida.

$x \leq 1$

Paso 1.2

Como $- \ln (x - 1) + 3$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $1$ desde la izquierda y $- \ln (x - 1) + 3$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $1$ desde la derecha, entonces $x = 1$ es una asíntota vertical.

$x = 1$

Paso 1.3

Ignora el logaritmo y considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 1.4

No hay asíntotas horizontales porque $Q (x)$ es $1$ .

No hay asíntotas horizontales

Paso 1.5

No hay asíntotas oblicuas para las funciones logarítmicas y trigonométricas.

No hay asíntotas oblicuas

Paso 1.6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = 1$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas verticales: $x = 1$

No hay asíntotas horizontales

Paso 2

Obtén el punto en $x = 2$ .

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = - \ln ((2) - 1) + 3$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Resta $1$ de $2$ .

$f (2) = - \ln (1) + 3$

Paso 2.2.1.2

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$f (2) = - 0 + 3$

Paso 2.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f (2) = 0 + 3$

Paso 2.2.2

Suma $0$ y $3$ .

$f (2) = 3$

Paso 2.2.3

La respuesta final es $3$ .

$3$

Paso 2.3

Convierte $3$ a decimal.

$y = 3$

Paso 3

Obtén el punto en $x = 3$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = - \ln ((3) - 1) + 3$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Resta $1$ de $3$ .

$f (3) = - \ln (2) + 3$

Paso 3.2.2

La respuesta final es $- \ln (2) + 3$ .

$- \ln (2) + 3$

Paso 3.3

Convierte $- \ln (2) + 3$ a decimal.

$y = 2.30685281$

Paso 4

Obtén el punto en $x = 4$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f (4) = - \ln ((4) - 1) + 3$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Resta $1$ de $4$ .

$f (4) = - \ln (3) + 3$

Paso 4.2.2

La respuesta final es $- \ln (3) + 3$ .

$- \ln (3) + 3$

Paso 4.3

Convierte $- \ln (3) + 3$ a decimal.

$y = 1.90138771$

Paso 5

La función logarítmica puede representarse gráficamente mediante la asíntota vertical en $x = 1$ y los puntos $(2, 3), (3, 2.30685281), (4, 1.90138771)$ .

Asíntota vertical: $x = 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 3 \\ 3 & 2.307 \\ 4 & 1.901 \end{array}$

Paso 6