Precálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x^{2} - x + 1$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1.1

Completa el cuadrado de $2 x^{2} - x + 1$ .

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Paso 1.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 2$

$b = - 1$

$c = 1$

Paso 1.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 1}{2 \cdot 2}$

Paso 1.1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.3.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$d = \frac{- 1}{4}$

Paso 1.1.1.3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = - \frac{1}{4}$

Paso 1.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot 2}$

Paso 1.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.4.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$e = 1 - \frac{1}{4 \cdot 2}$

Paso 1.1.1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$e = 1 - \frac{1}{8}$

Paso 1.1.1.4.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$e = \frac{8}{8} - \frac{1}{8}$

Paso 1.1.1.4.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{8 - 1}{8}$

Paso 1.1.1.4.2.4

Resta $1$ de $8$ .

$e = \frac{7}{8}$

Paso 1.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $2 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + \frac{7}{8}$ .

$2 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + \frac{7}{8}$

Paso 1.1.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = 2 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + \frac{7}{8}$

Paso 1.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = 2$

$h = \frac{1}{4}$

$k = \frac{7}{8}$

Paso 1.3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 1.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(\frac{1}{4}, \frac{7}{8})$

Paso 1.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

Paso 1.5.3

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{1}{8}$

Paso 1.6

Obtén el foco.

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Paso 1.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 1.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(\frac{1}{4}, 1)$

Paso 1.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = \frac{1}{4}$

Paso 1.8

Obtén la directriz.

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Paso 1.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 1.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = \frac{3}{4}$

Paso 1.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(\frac{1}{4}, \frac{7}{8})$

Foco: $(\frac{1}{4}, 1)$

Eje de simetría: $x = \frac{1}{4}$

Directriz: $y = \frac{3}{4}$

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(\frac{1}{4}, \frac{7}{8})$

Foco: $(\frac{1}{4}, 1)$

Eje de simetría: $x = \frac{1}{4}$

Directriz: $y = \frac{3}{4}$

Paso 2

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = 2 {(- 1)}^{2} - (- 1) + 1$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1) = 2 \cdot 1 - (- 1) + 1$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (- 1) = 2 - (- 1) + 1$

Paso 2.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- 1) = 2 + 1 + 1$

Paso 2.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 2.2.2.1

Suma $2$ y $1$ .

$f (- 1) = 3 + 1$

Paso 2.2.2.2

Suma $3$ y $1$ .

$f (- 1) = 4$

Paso 2.2.3

La respuesta final es $4$ .

$4$

Paso 2.3

El valor de $y$ en $x = - 1$ es $4$ .

$y = 4$

Paso 2.4

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = 2 {(- 2)}^{2} - (- 2) + 1$

Paso 2.5

Simplifica el resultado.

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Paso 2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f (- 2) = 2 \cdot 4 - (- 2) + 1$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$f (- 2) = 8 - (- 2) + 1$

Paso 2.5.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f (- 2) = 8 + 2 + 1$

Paso 2.5.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 2.5.2.1

Suma $8$ y $2$ .

$f (- 2) = 10 + 1$

Paso 2.5.2.2

Suma $10$ y $1$ .

$f (- 2) = 11$

Paso 2.5.3

La respuesta final es $11$ .

$11$

Paso 2.6

El valor de $y$ en $x = - 2$ es $11$ .

$y = 11$

Paso 2.7

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = 2 {(1)}^{2} - (1) + 1$

Paso 2.8

Simplifica el resultado.

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Paso 2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 2 \cdot 1 - (1) + 1$

Paso 2.8.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (1) = 2 - (1) + 1$

Paso 2.8.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (1) = 2 - 1 + 1$

Paso 2.8.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.8.2.1

Resta $1$ de $2$ .

$f (1) = 1 + 1$

Paso 2.8.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$f (1) = 2$

Paso 2.8.3

La respuesta final es $2$ .

$2$

Paso 2.9

El valor de $y$ en $x = 1$ es $2$ .

$y = 2$

Paso 2.10

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = 2 {(2)}^{2} - (2) + 1$

Paso 2.11

Simplifica el resultado.

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Paso 2.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.1.1

Multiplica $2$ por ${(2)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.11.1.1.1

Multiplica $2$ por ${(2)}^{2}$ .

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Paso 2.11.1.1.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$f (2) = 2 {(2)}^{2} - (2) + 1$

Paso 2.11.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (2) = 2^{1 + 2} - (2) + 1$

Paso 2.11.1.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$f (2) = 2^{3} - (2) + 1$

Paso 2.11.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (2) = 8 - (2) + 1$

Paso 2.11.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (2) = 8 - 2 + 1$

Paso 2.11.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.11.2.1

Resta $2$ de $8$ .

$f (2) = 6 + 1$

Paso 2.11.2.2

Suma $6$ y $1$ .

$f (2) = 7$

Paso 2.11.3

La respuesta final es $7$ .

$7$

Paso 2.12

El valor de $y$ en $x = 2$ es $7$ .

$y = 7$

Paso 2.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 11 \\ - 1 & 4 \\ \frac{1}{4} & \frac{7}{8} \\ 1 & 2 \\ 2 & 7 \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(\frac{1}{4}, \frac{7}{8})$

Foco: $(\frac{1}{4}, 1)$

Eje de simetría: $x = \frac{1}{4}$

Directriz: $y = \frac{3}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 11 \\ - 1 & 4 \\ \frac{1}{4} & \frac{7}{8} \\ 1 & 2 \\ 2 & 7 \end{array}$

Paso 4