Precálculo Ejemplos

$f (x) = - x^{2} (x + 4) (x^{2} - 1)$

Paso 1

Identifica el grado de la función.

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Paso 1.1

Simplifica y reordena el polinomio.

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Paso 1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(- x^{2} x - x^{2} \cdot 4) (x^{2} - 1)$

Paso 1.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.2.1

Mueve $x$ .

$(- (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 4) (x^{2} - 1)$

Paso 1.1.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(- (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 4) (x^{2} - 1)$

Paso 1.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(- x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 4) (x^{2} - 1)$

Paso 1.1.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$(- x^{3} - x^{2} \cdot 4) (x^{2} - 1)$

Paso 1.1.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$(- x^{3} - 4 x^{2}) (x^{2} - 1)$

Paso 1.1.4

Expande $(- x^{3} - 4 x^{2}) (x^{2} - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- x^{3} (x^{2} - 1) - 4 x^{2} (x^{2} - 1)$

Paso 1.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- x^{3} x^{2} - x^{3} \cdot - 1 - 4 x^{2} (x^{2} - 1)$

Paso 1.1.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- x^{3} x^{2} - x^{3} \cdot - 1 - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 1$

Paso 1.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.5.1

Multiplica $x^{3}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.5.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$- (x^{2} x^{3}) - x^{3} \cdot - 1 - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 1$

Paso 1.1.5.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- x^{2 + 3} - x^{3} \cdot - 1 - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 1$

Paso 1.1.5.1.3

Suma $2$ y $3$ .

$- x^{5} - x^{3} \cdot - 1 - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 1$

Paso 1.1.5.2

Multiplica $- x^{3} \cdot - 1$ .

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Paso 1.1.5.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- x^{5} + 1 x^{3} - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 1$

Paso 1.1.5.2.2

Multiplica $x^{3}$ por $1$ .

$- x^{5} + x^{3} - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 1$

Paso 1.1.5.3

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.5.3.1

Mueve $x^{2}$ .

$- x^{5} + x^{3} - 4 (x^{2} x^{2}) - 4 x^{2} \cdot - 1$

Paso 1.1.5.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- x^{5} + x^{3} - 4 x^{2 + 2} - 4 x^{2} \cdot - 1$

Paso 1.1.5.3.3

Suma $2$ y $2$ .

$- x^{5} + x^{3} - 4 x^{4} - 4 x^{2} \cdot - 1$

Paso 1.1.5.4

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$- x^{5} + x^{3} - 4 x^{4} + 4 x^{2}$

Paso 1.2

El mayor exponente es el grado del polinomio.

$5$

Paso 2

Como el grado es impar, los extremos de la función apuntarán hacia direcciones opuestas.

Impar

Paso 3

Identifica el coeficiente principal.

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Paso 3.1

Simplifica el polinomio, luego reordénalo de izquierda a derecha, comienza por el término de mayor grado.

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Paso 3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(- x^{2} x - x^{2} \cdot 4) (x^{2} - 1)$

Paso 3.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.2.1

Mueve $x$ .

$(- (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 4) (x^{2} - 1)$

Paso 3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(- (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 4) (x^{2} - 1)$

Paso 3.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(- x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 4) (x^{2} - 1)$

Paso 3.1.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$(- x^{3} - x^{2} \cdot 4) (x^{2} - 1)$

Paso 3.1.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$(- x^{3} - 4 x^{2}) (x^{2} - 1)$

Paso 3.1.4

Expande $(- x^{3} - 4 x^{2}) (x^{2} - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- x^{3} (x^{2} - 1) - 4 x^{2} (x^{2} - 1)$

Paso 3.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- x^{3} x^{2} - x^{3} \cdot - 1 - 4 x^{2} (x^{2} - 1)$

Paso 3.1.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- x^{3} x^{2} - x^{3} \cdot - 1 - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 1$

Paso 3.1.5

Simplifica los términos.

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Paso 3.1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.5.1.1

Multiplica $x^{3}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.5.1.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$- (x^{2} x^{3}) - x^{3} \cdot - 1 - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 1$

Paso 3.1.5.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- x^{2 + 3} - x^{3} \cdot - 1 - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 1$

Paso 3.1.5.1.1.3

Suma $2$ y $3$ .

$- x^{5} - x^{3} \cdot - 1 - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 1$

Paso 3.1.5.1.2

Multiplica $- x^{3} \cdot - 1$ .

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Paso 3.1.5.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- x^{5} + 1 x^{3} - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 1$

Paso 3.1.5.1.2.2

Multiplica $x^{3}$ por $1$ .

$- x^{5} + x^{3} - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 1$

Paso 3.1.5.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.5.1.3.1

Mueve $x^{2}$ .

$- x^{5} + x^{3} - 4 (x^{2} x^{2}) - 4 x^{2} \cdot - 1$

Paso 3.1.5.1.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- x^{5} + x^{3} - 4 x^{2 + 2} - 4 x^{2} \cdot - 1$

Paso 3.1.5.1.3.3

Suma $2$ y $2$ .

$- x^{5} + x^{3} - 4 x^{4} - 4 x^{2} \cdot - 1$

Paso 3.1.5.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$- x^{5} + x^{3} - 4 x^{4} + 4 x^{2}$

Paso 3.1.5.2

Mueve $x^{3}$ .

$- x^{5} - 4 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2}$

Paso 3.2

El término de mayor grado en un polinomio es el término que tiene el grado más alto.

$- x^{5}$

Paso 3.3

El coeficiente principal en un polinomio es el coeficiente del término de mayor grado.

$- 1$

Paso 4

Como el coeficiente principal es negativo, la gráfica cae a la derecha.

Negativo

Paso 5

Usa el grado de la función, además del signo del coeficiente principal, para determinar el comportamiento.

1. Par y positivo: se eleva a la izquierda y se eleva a la derecha.

2. Par y negativo: cae a la izquierda y cae a la derecha.

3. Impar y positivo: cae a la izquierda y se eleva a la derecha.

4. Impar y negativo: se eleva a la izquierda y cae a la derecha.

Paso 6

Determina el comportamiento.

Se eleva a la izquierda y cae a la derecha

Paso 7