Precálculo Ejemplos

$\sec (\frac{θ}{2}) = \cos (\frac{θ}{2})$

Paso 1

Divide cada término en $\sec (\frac{θ}{2}) = \cos (\frac{θ}{2})$ por $\sec (\frac{θ}{2})$ y simplifica.

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Paso 1.1

Divide cada término en $\sec (\frac{θ}{2}) = \cos (\frac{θ}{2})$ por $\sec (\frac{θ}{2})$ .

$\frac{\sec (\frac{θ}{2})}{\sec (\frac{θ}{2})} = \frac{\cos (\frac{θ}{2})}{\sec (\frac{θ}{2})}$

Paso 1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común de $\sec (\frac{θ}{2})$ .

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Paso 1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sec (\frac{θ}{2})}{\sec (\frac{θ}{2})} = \frac{\cos (\frac{θ}{2})}{\sec (\frac{θ}{2})}$

Paso 1.2.1.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{\cos (\frac{θ}{2})}{\sec (\frac{θ}{2})}$

Paso 1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.1

Reescribe $\sec (\frac{θ}{2})$ en términos de senos y cosenos.

$1 = \frac{\cos (\frac{θ}{2})}{\frac{1}{\cos (\frac{θ}{2})}}$

Paso 1.3.2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (\frac{θ}{2})}$ .

$1 = \cos (\frac{θ}{2}) \cos (\frac{θ}{2})$

Paso 1.3.3

Simplifica.

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Paso 1.3.3.1

Eleva $\cos (\frac{θ}{2})$ a la potencia de $1$ .

$1 = \cos^{1} (\frac{θ}{2}) \cos (\frac{θ}{2})$

Paso 1.3.3.2

Eleva $\cos (\frac{θ}{2})$ a la potencia de $1$ .

$1 = \cos^{1} (\frac{θ}{2}) \cos^{1} (\frac{θ}{2})$

Paso 1.3.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 = {\cos (\frac{θ}{2})}^{1 + 1}$

Paso 1.3.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$1 = \cos^{2} (\frac{θ}{2})$

Paso 2

Reescribe la ecuación como $\cos^{2} (\frac{θ}{2}) = 1$ .

$\cos^{2} (\frac{θ}{2}) = 1$

Paso 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (\frac{θ}{2}) = \pm \sqrt{1}$

Paso 4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\cos (\frac{θ}{2}) = \pm 1$

Paso 5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\cos (\frac{θ}{2}) = 1$

Paso 5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\cos (\frac{θ}{2}) = - 1$

Paso 5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\cos (\frac{θ}{2}) = 1, - 1$

Paso 6

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $θ$ .

$\cos (\frac{θ}{2}) = 1$

$\cos (\frac{θ}{2}) = - 1$

Paso 7

Resuelve $θ$ en $\cos (\frac{θ}{2}) = 1$ .

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Paso 7.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior del coseno.

$\frac{θ}{2} = \arccos (1)$

Paso 7.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.1

El valor exacto de $\arccos (1)$ es $0$ .

$\frac{θ}{2} = 0$

Paso 7.3

Establece el numerador igual a cero.

$θ = 0$

Paso 7.4

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$\frac{θ}{2} = 2 π - 0$

Paso 7.5

Resuelve $θ$

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Paso 7.5.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{θ}{2} = 2 (2 π - 0)$

Paso 7.5.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 7.5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.5.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.5.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{θ}{2} = 2 (2 π - 0)$

Paso 7.5.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$θ = 2 (2 π - 0)$

Paso 7.5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.5.2.2.1

Simplifica $2 (2 π - 0)$ .

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Paso 7.5.2.2.1.1

Resta $0$ de $2 π$ .

$θ = 2 (2 π)$

Paso 7.5.2.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$θ = 4 π$

Paso 7.6

Obtén el período de $\cos (\frac{θ}{2})$ .

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Paso 7.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 7.6.2

Reemplaza $b$ con $\frac{1}{2}$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Paso 7.6.3

$\frac{1}{2}$ es aproximadamente $0.5$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Paso 7.6.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \cdot 2$

Paso 7.6.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 π$

Paso 7.7

El período de la función $\cos (\frac{θ}{2})$ es $4 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $4 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = 4 π n, 4 π + 4 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8

Resuelve $θ$ en $\cos (\frac{θ}{2}) = - 1$ .

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Paso 8.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior del coseno.

$\frac{θ}{2} = \arccos (- 1)$

Paso 8.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.1

El valor exacto de $\arccos (- 1)$ es $π$ .

$\frac{θ}{2} = π$

Paso 8.3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{θ}{2} = 2 π$

Paso 8.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.4.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.4.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{θ}{2} = 2 π$

Paso 8.4.1.2

Reescribe la expresión.

$θ = 2 π$

Paso 8.5

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$\frac{θ}{2} = 2 π - π$

Paso 8.6

Resuelve $θ$

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Paso 8.6.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{θ}{2} = 2 (2 π - π)$

Paso 8.6.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 8.6.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.6.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.6.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{θ}{2} = 2 (2 π - π)$

Paso 8.6.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$θ = 2 (2 π - π)$

Paso 8.6.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.6.2.2.1

Resta $π$ de $2 π$ .

$θ = 2 π$

Paso 8.7

Obtén el período de $\cos (\frac{θ}{2})$ .

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Paso 8.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 8.7.2

Reemplaza $b$ con $\frac{1}{2}$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Paso 8.7.3

$\frac{1}{2}$ es aproximadamente $0.5$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Paso 8.7.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \cdot 2$

Paso 8.7.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 π$

Paso 8.8

El período de la función $\cos (\frac{θ}{2})$ es $4 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $4 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = 2 π + 4 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 9

Enumera todas las soluciones.

$θ = 4 π n, 4 π + 4 π n, 2 π + 4 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 10

Consolida las respuestas.

$θ = 2 π n$ , para cualquier número entero $n$