Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x}{x - 5}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{x}{x - 5}$ como una ecuación.

$y = \frac{x}{x - 5}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{y}{y - 5}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica la ecuación por $y - 5$ .

$(y - 5) (x) = (\frac{y}{y - 5}) (y - 5)$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y x - 5 x = (\frac{y}{y - 5}) (y - 5)$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $y - 5$ .

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Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común.

$y x - 5 x = \frac{y}{y - 5} (y - 5)$

Paso 3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y x - 5 x = y$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$y x - 5 x - y = 0$

Paso 3.4.2

Suma $5 x$ a ambos lados de la ecuación.

$y x - y = 5 x$

Paso 3.4.3

Factoriza $y$ de $y x - y$ .

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Paso 3.4.3.1

Factoriza $y$ de $y x$ .

$y (x) - y = 5 x$

Paso 3.4.3.2

Factoriza $y$ de $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = 5 x$

Paso 3.4.3.3

Factoriza $y$ de $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = 5 x$

Paso 3.4.4

Divide cada término en $y (x - 1) = 5 x$ por $x - 1$ y simplifica.

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Paso 3.4.4.1

Divide cada término en $y (x - 1) = 5 x$ por $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{5 x}{x - 1}$

Paso 3.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.4.2.1

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 3.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{5 x}{x - 1}$

Paso 3.4.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{5 x}{x - 1}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{x - 1}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{x - 1}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x}{x - 5}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{x}{x - 5})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{5 (\frac{x}{x - 5})}{(\frac{x}{x - 5}) - 1}$

Paso 5.2.3

Combina $5$ y $\frac{x}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 x}{x - 5}}{\frac{x}{x - 5} - 1}$

Paso 5.2.4

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.4.1

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 x}{x - 5}}{\frac{x}{x - 5} - 1 \cdot \frac{x - 5}{x - 5}}$

Paso 5.2.4.2

Combina $- 1$ y $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 x}{x - 5}}{\frac{x}{x - 5} + \frac{- (x - 5)}{x - 5}}$

Paso 5.2.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 x}{x - 5}}{\frac{x - (x - 5)}{x - 5}}$

Paso 5.2.4.4

Reescribe $\frac{x - (x - 5)}{x - 5}$ en forma factorizada.

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Paso 5.2.4.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 x}{x - 5}}{\frac{x - x + 5}{x - 5}}$

Paso 5.2.4.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 x}{x - 5}}{\frac{x - x + 5}{x - 5}}$

Paso 5.2.4.4.3

Resta $x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 x}{x - 5}}{\frac{0 + 5}{x - 5}}$

Paso 5.2.4.4.4

Suma $0$ y $5$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 x}{x - 5}}{\frac{5}{x - 5}}$

Paso 5.2.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{5 x}{x - 5} \cdot \frac{x - 5}{5}$

Paso 5.2.6

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.2.6.1

Factoriza $5$ de $5 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{5 (x)}{x - 5} \cdot \frac{x - 5}{5}$

Paso 5.2.6.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{5 x}{x - 5} \cdot \frac{x - 5}{5}$

Paso 5.2.6.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{x}{x - 5} \cdot (x - 5)$

Paso 5.2.7

Cancela el factor común de $x - 5$ .

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Paso 5.2.7.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{x}{x - 5} \cdot (x - 5)$

Paso 5.2.7.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{5 x}{x - 1})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{\frac{5 x}{x - 1}}{(\frac{5 x}{x - 1}) - 5}$

Paso 5.3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 x}{x - 1} - 5}$

Paso 5.3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.4.1

Para escribir $- 5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 x}{x - 1} - 5 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}$

Paso 5.3.4.2

Combina $- 5$ y $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 x}{x - 1} + \frac{- 5 (x - 1)}{x - 1}}$

Paso 5.3.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 x - 5 (x - 1)}{x - 1}}$

Paso 5.3.4.4

Reescribe $\frac{5 x - 5 (x - 1)}{x - 1}$ en forma factorizada.

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Paso 5.3.4.4.1

Factoriza $5$ de $5 x - 5 (x - 1)$ .

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Paso 5.3.4.4.1.1

Factoriza $5$ de $5 x$ .

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 (x) - 5 (x - 1)}{x - 1}}$

Paso 5.3.4.4.1.2

Factoriza $5$ de $- 5 (x - 1)$ .

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 (x) + 5 (- (x - 1))}{x - 1}}$

Paso 5.3.4.4.1.3

Factoriza $5$ de $5 (x) + 5 (- (x - 1))$ .

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 (x - (x - 1))}{x - 1}}$

Paso 5.3.4.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 (x - x + 1)}{x - 1}}$

Paso 5.3.4.4.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 (x - x + 1)}{x - 1}}$

Paso 5.3.4.4.4

Resta $x$ de $x$ .

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 (0 + 1)}{x - 1}}$

Paso 5.3.4.4.5

Suma $0$ y $1$ .

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 \cdot 1}{x - 1}}$

Paso 5.3.4.5

Multiplica $5$ por $1$ .

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5}{x - 1}}$

Paso 5.3.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot (1 (\frac{x - 1}{5}))$

Paso 5.3.6

Multiplica $\frac{x - 1}{5}$ por $1$ .

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{5}$

Paso 5.3.7

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.3.7.1

Factoriza $5$ de $5 x$ .

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 (x)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{5}$

Paso 5.3.7.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{5}$

Paso 5.3.7.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (x - 1)$

Paso 5.3.8

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 5.3.8.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (x - 1)$

Paso 5.3.8.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{x - 1}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{x - 1}$