Precálculo Ejemplos

$f (x) = {(x - 6)}^{2} {(x + 2)}^{2}$

Paso 1

Simplifica y reordena el polinomio en orden descendente para usar la regla de Descartes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Reescribe ${(x - 6)}^{2}$ como $(x - 6) (x - 6)$ .

$(x - 6) (x - 6) {(x + 2)}^{2}$

Paso 1.2

Expande $(x - 6) (x - 6)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(x (x - 6) - 6 (x - 6)) {(x + 2)}^{2}$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 (x - 6)) {(x + 2)}^{2}$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) {(x + 2)}^{2}$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$(x^{2} + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) {(x + 2)}^{2}$

Paso 1.3.1.2

Mueve $- 6$ a la izquierda de $x$ .

$(x^{2} - 6 \cdot x - 6 x - 6 \cdot - 6) {(x + 2)}^{2}$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $- 6$ por $- 6$ .

$(x^{2} - 6 x - 6 x + 36) {(x + 2)}^{2}$

Paso 1.3.2

Resta $6 x$ de $- 6 x$ .

$(x^{2} - 12 x + 36) {(x + 2)}^{2}$

Paso 1.4

Reescribe ${(x + 2)}^{2}$ como $(x + 2) (x + 2)$ .

$(x^{2} - 12 x + 36) ((x + 2) (x + 2))$

Paso 1.5

Expande $(x + 2) (x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{2} - 12 x + 36) (x (x + 2) + 2 (x + 2))$

Paso 1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{2} - 12 x + 36) (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2))$

Paso 1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{2} - 12 x + 36) (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

Paso 1.6

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

Paso 1.6.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2)$

Paso 1.6.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 2 x + 2 x + 4)$

Paso 1.6.2

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 4 x + 4)$

Paso 1.7

Expande $(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 4 x + 4)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$x^{2} x^{2} + x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Paso 1.8

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.8.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.8.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.8.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2 + 2} + x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Paso 1.8.1.1.2

Suma $2$ y $2$ .

$x^{4} + x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Paso 1.8.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{4} + 4 x^{2} x + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Paso 1.8.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.8.1.3.1

Mueve $x$ .

$x^{4} + 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Paso 1.8.1.3.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.8.1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{4} + 4 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Paso 1.8.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{4} + 4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Paso 1.8.1.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Paso 1.8.1.4

Mueve $4$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 \cdot x^{2} - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Paso 1.8.1.5

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.8.1.5.1

Mueve $x^{2}$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 (x^{2} x) - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Paso 1.8.1.5.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.8.1.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 (x^{2} x^{1}) - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Paso 1.8.1.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{2 + 1} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Paso 1.8.1.5.3

Suma $2$ y $1$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Paso 1.8.1.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 12 \cdot 4 x \cdot x - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Paso 1.8.1.7

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.8.1.7.1

Mueve $x$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 12 \cdot 4 (x \cdot x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Paso 1.8.1.7.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 12 \cdot 4 x^{2} - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Paso 1.8.1.8

Multiplica $- 12$ por $4$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 48 x^{2} - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Paso 1.8.1.9

Multiplica $4$ por $- 12$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 48 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Paso 1.8.1.10

Multiplica $4$ por $36$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 48 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 144 x + 36 \cdot 4$

Paso 1.8.1.11

Multiplica $36$ por $4$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 48 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 144 x + 144$

Paso 1.8.2

Simplifica mediante la adición de términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.8.2.1

Resta $12 x^{3}$ de $4 x^{3}$ .

$x^{4} - 8 x^{3} + 4 x^{2} - 48 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 144 x + 144$

Paso 1.8.2.2

Resta $48 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$x^{4} - 8 x^{3} - 44 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 144 x + 144$

Paso 1.8.2.3

Suma $- 44 x^{2}$ y $36 x^{2}$ .

$x^{4} - 8 x^{3} - 8 x^{2} - 48 x + 144 x + 144$

Paso 1.8.2.4

Suma $- 48 x$ y $144 x$ .

$x^{4} - 8 x^{3} - 8 x^{2} + 96 x + 144$

Paso 2

Para obtener el número posible de raíces positivas, mira los signos en los coeficientes y cuenta la cantidad de veces que los signos en los coeficientes cambian de positivo a negativo o de negativo a positivo.

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} - 8 x^{2} + 96 x + 144$

Paso 3

Como hay $2$ cambios de signos desde el término de mayor orden hasta el de menor orden, hay como máximo $2$ raíces positivas (regla de los signos de Descartes). Los otros números posibles de las raíces negativas se obtienen mediante la resta de los pares de raíces (por ej., $(2 - 2)$ ).

Raíces positivas: $2$ o $0$

Paso 4

Para obtener el número posible de raíces negativas, reemplaza $x$ por $- x$ y repite la comparación del signo.

$f (- x) = {(- x)}^{4} - 8 {(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

Paso 5

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Aplica la regla del producto a $- x$ .

$f (- x) = {(- 1)}^{4} x^{4} - 8 {(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

Paso 5.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f (- x) = 1 x^{4} - 8 {(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

Paso 5.3

Multiplica $x^{4}$ por $1$ .

$f (- x) = x^{4} - 8 {(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

Paso 5.4

Aplica la regla del producto a $- x$ .

$f (- x) = x^{4} - 8 ({(- 1)}^{3} x^{3}) - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

Paso 5.5

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- x) = x^{4} - 8 (- x^{3}) - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

Paso 5.6

Multiplica $- 1$ por $- 8$ .

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

Paso 5.7

Aplica la regla del producto a $- x$ .

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 ({(- 1)}^{2} x^{2}) + 96 (- x) + 144$

Paso 5.8

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 (1 x^{2}) + 96 (- x) + 144$

Paso 5.9

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2} + 96 (- x) + 144$

Paso 5.10

Multiplica $- 1$ por $96$ .

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2} - 96 x + 144$

Paso 6

Como hay $2$ cambios de signos desde el término de mayor orden hasta el de menor orden, hay como máximo $2$ raíces negativas (regla de los signos de Descartes). Los otros números posibles de las raíces negativas se obtienen mediante la resta de los pares de raíces (por ej., $2 - 2$ ).

Raíces negativas: $2$ o $0$

Paso 7

El número posible de raíces positivas es $2$ o $0$ y el número posible de raíces negativas es $2$ o $0$ .

Raíces positivas: $2$ o $0$

Raíces negativas: $2$ o $0$