Precálculo Ejemplos

$\frac{2}{1 + i} - \frac{3}{1 - i}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Multiplica el numerador y el denominador de $\frac{2}{1 + 1 i}$ por el conjugado de $1 + 1 i$ para hacer real el denominador.

$\frac{2}{1 + 1 i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i} - \frac{3}{1 - i}$

Paso 1.2

Multiplica.

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Paso 1.2.1

Combinar.

$\frac{2 (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)} - \frac{3}{1 - i}$

Paso 1.2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)} - \frac{3}{1 - i}$

Paso 1.2.2.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 + 2 (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)} - \frac{3}{1 - i}$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 - 2 i}{(1 + 1 i) (1 - i)} - \frac{3}{1 - i}$

Paso 1.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.3.1

Expande $(1 + 1 i) (1 - i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 - 2 i}{1 (1 - i) + 1 i (1 - i)} - \frac{3}{1 - i}$

Paso 1.2.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 - 2 i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i (1 - i)} - \frac{3}{1 - i}$

Paso 1.2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 - 2 i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)} - \frac{3}{1 - i}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica.

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Paso 1.2.3.2.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{2 - 2 i}{1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)} - \frac{3}{1 - i}$

Paso 1.2.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 - 2 i}{1 - 1 i + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)} - \frac{3}{1 - i}$

Paso 1.2.3.2.3

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{2 - 2 i}{1 - 1 i + 1 i + 1 i (- i)} - \frac{3}{1 - i}$

Paso 1.2.3.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 - 2 i}{1 - 1 i + 1 i - i i} - \frac{3}{1 - i}$

Paso 1.2.3.2.5

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 - 2 i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i)} - \frac{3}{1 - i}$

Paso 1.2.3.2.6

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 - 2 i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i^{1})} - \frac{3}{1 - i}$

Paso 1.2.3.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 - 2 i}{1 - 1 i + 1 i - i^{1 + 1}} - \frac{3}{1 - i}$

Paso 1.2.3.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 - 2 i}{1 - 1 i + 1 i - i^{2}} - \frac{3}{1 - i}$

Paso 1.2.3.2.9

Suma $- 1 i$ y $1 i$ .

$\frac{2 - 2 i}{1 + 0 - i^{2}} - \frac{3}{1 - i}$

Paso 1.2.3.2.10

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{2 - 2 i}{1 - i^{2}} - \frac{3}{1 - i}$

Paso 1.2.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.3.1

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{2 - 2 i}{1 - - 1} - \frac{3}{1 - i}$

Paso 1.2.3.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 - 2 i}{1 + 1} - \frac{3}{1 - i}$

Paso 1.2.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 - 2 i}{2} - \frac{3}{1 - i}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $2 - 2 i$ y $2$ .

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Paso 1.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 1 - 2 i}{2} - \frac{3}{1 - i}$

Paso 1.3.2

Factoriza $2$ de $- 2 i$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- i)}{2} - \frac{3}{1 - i}$

Paso 1.3.3

Factoriza $2$ de $2 (1) + 2 (- i)$ .

$\frac{2 (1 - i)}{2} - \frac{3}{1 - i}$

Paso 1.3.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1 - i)}{2 (1)} - \frac{3}{1 - i}$

Paso 1.3.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (1 - i)}{2 \cdot 1} - \frac{3}{1 - i}$

Paso 1.3.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1 - i}{1} - \frac{3}{1 - i}$

Paso 1.3.4.4

Divide $1 - i$ por $1$ .

$1 - i - \frac{3}{1 - i}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador y el denominador de $\frac{3}{1 - i}$ por el conjugado de $1 - i$ para hacer real el denominador.

$1 - i - (\frac{3}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i})$

Paso 1.5

Multiplica.

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Paso 1.5.1

Combinar.

$1 - i - \frac{3 (1 + i)}{(1 - i) (1 + i)}$

Paso 1.5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 - i - \frac{3 \cdot 1 + 3 i}{(1 - i) (1 + i)}$

Paso 1.5.2.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$1 - i - \frac{3 + 3 i}{(1 - i) (1 + i)}$

Paso 1.5.3

Simplifica el denominador.

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Paso 1.5.3.1

Expande $(1 - i) (1 + i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.5.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 - i - \frac{3 + 3 i}{1 (1 + i) - i (1 + i)}$

Paso 1.5.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 - i - \frac{3 + 3 i}{1 \cdot 1 + 1 i - i (1 + i)}$

Paso 1.5.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1 - i - \frac{3 + 3 i}{1 \cdot 1 + 1 i - i \cdot 1 - i i}$

Paso 1.5.3.2

Simplifica.

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Paso 1.5.3.2.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$1 - i - \frac{3 + 3 i}{1 + 1 i - i \cdot 1 - i i}$

Paso 1.5.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$1 - i - \frac{3 + 3 i}{1 + 1 i - i - i i}$

Paso 1.5.3.2.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$1 - i - \frac{3 + 3 i}{1 + 1 i - i - (i^{1} i)}$

Paso 1.5.3.2.4

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$1 - i - \frac{3 + 3 i}{1 + 1 i - i - (i^{1} i^{1})}$

Paso 1.5.3.2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 - i - \frac{3 + 3 i}{1 + 1 i - i - i^{1 + 1}}$

Paso 1.5.3.2.6

Suma $1$ y $1$ .

$1 - i - \frac{3 + 3 i}{1 + 1 i - i - i^{2}}$

Paso 1.5.3.2.7

Resta $i$ de $1 i$ .

$1 - i - \frac{3 + 3 i}{1 + 0 - i^{2}}$

Paso 1.5.3.2.8

Suma $1$ y $0$ .

$1 - i - \frac{3 + 3 i}{1 - i^{2}}$

Paso 1.5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.3.3.1

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 - i - \frac{3 + 3 i}{1 - - 1}$

Paso 1.5.3.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 - i - \frac{3 + 3 i}{1 + 1}$

Paso 1.5.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$1 - i - \frac{3 + 3 i}{2}$

Paso 1.6

Divide la fracción $\frac{3 + 3 i}{2}$ en dos fracciones.

$1 - i - (\frac{3}{2} + \frac{3 i}{2})$

Paso 1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$1 - i - \frac{3}{2} - \frac{3 i}{2}$

Paso 2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{2}{2} - \frac{3}{2} - i - \frac{3 i}{2}$

Paso 3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 - 3}{2} - i - \frac{3 i}{2}$

Paso 4

Resta $3$ de $2$ .

$\frac{- 1}{2} - i - \frac{3 i}{2}$

Paso 5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2} - i - \frac{3 i}{2}$

Paso 6

Para escribir $- i$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} - i \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 i}{2}$

Paso 7

Combina $- i$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{- i \cdot 2}{2} - \frac{3 i}{2}$

Paso 8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{2} + \frac{- 5 i}{2}$

Paso 9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2} - \frac{5 i}{2}$