Precálculo Ejemplos

$2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} + 64 x - 32$

Paso 1

Reagrupa los términos.

$64 x - 32 + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2}$

Paso 2

Factoriza $32$ de $64 x - 32$ .

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Paso 2.1

Factoriza $32$ de $64 x$ .

$32 (2 x) - 32 + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2}$

Paso 2.2

Factoriza $32$ de $- 32$ .

$32 (2 x) + 32 (- 1) + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2}$

Paso 2.3

Factoriza $32$ de $32 (2 x) + 32 (- 1)$ .

$32 (2 x - 1) + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2}$

Paso 3

Factoriza $x^{2}$ de $2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2}$ .

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Paso 3.1

Factoriza $x^{2}$ de $2 x^{4}$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2}) - 13 x^{3} + 6 x^{2}$

Paso 3.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 13 x^{3}$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 13 x) + 6 x^{2}$

Paso 3.3

Factoriza $x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 13 x) + x^{2} \cdot 6$

Paso 3.4

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 13 x)$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 13 x) + x^{2} \cdot 6$

Paso 3.5

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (2 x^{2} - 13 x) + x^{2} \cdot 6$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 13 x + 6)$

Paso 4

Factoriza.

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Paso 4.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 6 = 12$ y cuya suma es $b = - 13$ .

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Paso 4.1.1.1

Factoriza $- 13$ de $- 13 x$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 13 (x) + 6)$

Paso 4.1.1.2

Reescribe $- 13$ como $- 1$ más $- 12$

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} + (- 1 - 12) x + 6)$

Paso 4.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 1 x - 12 x + 6)$

Paso 4.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$32 (2 x - 1) + x^{2} ((2 x^{2} - 1 x) - 12 x + 6)$

Paso 4.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (x (2 x - 1) - 6 (2 x - 1))$

Paso 4.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 1$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} ((2 x - 1) (x - 6))$

Paso 4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x - 1) (x - 6)$

Paso 5

Factoriza $2 x - 1$ de $32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x - 1) (x - 6)$ .

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Paso 5.1

Factoriza $2 x - 1$ de $32 (2 x - 1)$ .

$(2 x - 1) \cdot 32 + x^{2} (2 x - 1) (x - 6)$

Paso 5.2

Factoriza $2 x - 1$ de $x^{2} (2 x - 1) (x - 6)$ .

$(2 x - 1) \cdot 32 + (2 x - 1) (x^{2} (x - 6))$

Paso 5.3

Factoriza $2 x - 1$ de $(2 x - 1) \cdot 32 + (2 x - 1) (x^{2} (x - 6))$ .

$(2 x - 1) (32 + x^{2} (x - 6))$

Paso 6

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 x - 1) (32 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 6)$

Paso 7

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 7.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 7.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(2 x - 1) (32 + x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 6)$

Paso 7.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(2 x - 1) (32 + x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 6)$

Paso 7.2

Suma $2$ y $1$ .

$(2 x - 1) (32 + x^{3} + x^{2} \cdot - 6)$

Paso 8

Mueve $- 6$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$(2 x - 1) (32 + x^{3} - 6 x^{2})$

Paso 9

Reordena los términos.

$(2 x - 1) (x^{3} - 6 x^{2} + 32)$

Paso 10

Factoriza.

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Paso 10.1

Reescribe $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ en forma factorizada.

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Paso 10.1.1

Factoriza $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 10.1.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Paso 10.1.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

Paso 10.1.1.3

Sustituye $- 2$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 2$ es una raíz del polinomio.

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Paso 10.1.1.3.1

Sustituye $- 2$ en el polinomio.

${(- 2)}^{3} - 6 {(- 2)}^{2} + 32$

Paso 10.1.1.3.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$- 8 - 6 {(- 2)}^{2} + 32$

Paso 10.1.1.3.3

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$- 8 - 6 \cdot 4 + 32$

Paso 10.1.1.3.4

Multiplica $- 6$ por $4$ .

$- 8 - 24 + 32$

Paso 10.1.1.3.5

Resta $24$ de $- 8$ .

$- 32 + 32$

Paso 10.1.1.3.6

Suma $- 32$ y $32$ .

$0$

Paso 10.1.1.4

Como $- 2$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 2$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 32}{x + 2}$

Paso 10.1.1.5

Divide $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ por $x + 2$ .

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Paso 10.1.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$32$

Paso 10.1.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$

Paso 10.1.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Paso 10.1.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Paso 10.1.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Paso 10.1.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$

Paso 10.1.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 8 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$

Paso 10.1.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$16 x$

Paso 10.1.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 8 x^{2} - 16 x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$

Paso 10.1.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$

Paso 10.1.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$

Paso 10.1.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $16 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$

Paso 10.1.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							+	$16 x$	+	$32$

Paso 10.1.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $16 x + 32$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							-	$16 x$	-	$32$

Paso 10.1.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							-	$16 x$	-	$32$
										$0$

Paso 10.1.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - 8 x + 16$

Paso 10.1.1.6

Escribe $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ como un conjunto de factores.

$(2 x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 8 x + 16))$

Paso 10.1.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 10.1.2.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$(2 x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 8 x + 4^{2}))$

Paso 10.1.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Paso 10.1.2.3

Reescribe el polinomio.

$(2 x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}))$

Paso 10.1.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$(2 x - 1) ((x + 2) {(x - 4)}^{2})$

Paso 10.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(2 x - 1) (x + 2) {(x - 4)}^{2}$