Precálculo Ejemplos

$\ln (x) + \ln (x + 1) = 4$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x (x + 1)) = 4$

Paso 1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 1) = 4$

Paso 1.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot 1) = 4$

Paso 1.3.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\ln (x^{2} + x) = 4$

Paso 2

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x^{2} + x)} = e^{4}$

Paso 3

Reescribe $\ln (x^{2} + x) = 4$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{4} = x^{2} + x$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $x^{2} + x = e^{4}$ .

$x^{2} + x = e^{4}$

Paso 4.2

Resta $e^{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + x - e^{4} = 0$

Paso 4.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.4

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 1$ y $c = - e^{4}$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- e^{4}))}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5

Simplifica.

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Paso 4.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 4.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 1 e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 e^{4}}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 e^{4}}}{2}$

Paso 4.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 e^{4}}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{1 + 4 e^{4}}}{2}$

Paso 5

Excluye las soluciones que no hagan que $\ln (x) + \ln (x + 1) = 4$ sea verdadera.

$x = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 e^{4}}}{2}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 e^{4}}}{2}$

Forma decimal:

$x = 6.90595368 \dots$