Precálculo Ejemplos

$\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = 1$

Paso 1

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = \arctan (1)$

Paso 2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1

El valor exacto de $\arctan (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = \frac{π}{4}$

Paso 3

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Resta $\frac{π}{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4} - \frac{π}{3}$

Paso 3.2

Para escribir $\frac{π}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 3.3

Para escribir $- \frac{π}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 3.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $12$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.4.1

Multiplica $\frac{π}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 3.4.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3}{12} - \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 3.4.3

Multiplica $\frac{π}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3}{12} - \frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4}$

Paso 3.4.4

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3}{12} - \frac{π \cdot 4}{12}$

Paso 3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3 - π \cdot 4}{12}$

Paso 3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 \cdot π - π \cdot 4}{12}$

Paso 3.6.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π - 4 π}{12}$

Paso 3.6.3

Resta $4 π$ de $3 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{- π}{12}$

Paso 3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{12}$

Paso 4

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{12})$

Paso 5

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{12})$

Paso 5.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 2 (- \frac{π}{12})$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Simplifica $2 (- \frac{π}{12})$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{12}$ al numerador.

$x = 2 \frac{- π}{12}$

Paso 5.2.1.1.2

Factoriza $2$ de $12$ .

$x = 2 \frac{- π}{2 (6)}$

Paso 5.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$x = 2 \frac{- π}{2 \cdot 6}$

Paso 5.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$x = \frac{- π}{6}$

Paso 5.2.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{π}{6}$

Paso 6

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = π + \frac{π}{4}$

Paso 7

Resuelve $x$

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Paso 7.1

Simplifica $π + \frac{π}{4}$ .

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Paso 7.1.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 7.1.2

Combina fracciones.

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Paso 7.1.2.1

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 7.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Paso 7.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.3.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Paso 7.1.3.2

Suma $4 π$ y $π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = \frac{5 π}{4}$

Paso 7.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 7.2.1

Resta $\frac{π}{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{4} - \frac{π}{3}$

Paso 7.2.2

Para escribir $\frac{5 π}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 7.2.3

Para escribir $- \frac{π}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 7.2.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $12$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.2.4.1

Multiplica $\frac{5 π}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 7.2.4.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 3}{12} - \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 7.2.4.3

Multiplica $\frac{π}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 3}{12} - \frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4}$

Paso 7.2.4.4

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 3}{12} - \frac{π \cdot 4}{12}$

Paso 7.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 3 - π \cdot 4}{12}$

Paso 7.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.6.1

Multiplica $3$ por $5$ .

$\frac{x}{2} = \frac{15 π - π \cdot 4}{12}$

Paso 7.2.6.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{x}{2} = \frac{15 π - 4 π}{12}$

Paso 7.2.6.3

Resta $4 π$ de $15 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{11 π}{12}$

Paso 7.3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{11 π}{12}$

Paso 7.4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 7.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.4.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{11 π}{12}$

Paso 7.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 2 \frac{11 π}{12}$

Paso 7.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.4.2.1.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$x = 2 \frac{11 π}{2 (6)}$

Paso 7.4.2.1.2

Cancela el factor común.

$x = 2 \frac{11 π}{2 \cdot 6}$

Paso 7.4.2.1.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{11 π}{6}$

Paso 8

Obtén el período de $\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ .

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Paso 8.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 8.2

Reemplaza $b$ con $\frac{1}{2}$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

Paso 8.3

$\frac{1}{2}$ es aproximadamente $0.5$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Paso 8.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$π \cdot 2$

Paso 8.5

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$2 π$

Paso 9

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 9.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{6}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Paso 9.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 9.3

Combina fracciones.

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Paso 9.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 9.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 9.4

Simplifica el numerador.

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Paso 9.4.1

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Paso 9.4.2

Resta $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Paso 9.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{11 π}{6}$

Paso 10

El período de la función $\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 11

Consolida las respuestas.

$x = \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$