Precálculo Ejemplos

$x^{\frac{4}{3}} - 5 x^{\frac{2}{3}} + 6 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reescribe $x^{\frac{4}{3}}$ como ${(x^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

${(x^{\frac{2}{3}})}^{2} - 5 x^{\frac{2}{3}} + 6 = 0$

Paso 1.2

Sea $u = x^{\frac{2}{3}}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{\frac{2}{3}}$ .

$u^{2} - 5 u + 6 = 0$

Paso 1.3

Factoriza $u^{2} - 5 u + 6$ con el método AC.

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Paso 1.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $6$ y cuya suma es $- 5$ .

$- 3, - 2$

Paso 1.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 3) (u - 2) = 0$

Paso 1.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{2}{3}}$ .

$(x^{\frac{2}{3}} - 3) (x^{\frac{2}{3}} - 2) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} - 3 = 0$

$x^{\frac{2}{3}} - 2 = 0$

Paso 3

Establece $x^{\frac{2}{3}} - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $x^{\frac{2}{3}} - 3$ igual a $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} - 3 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x^{\frac{2}{3}} - 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{\frac{2}{3}} = 3$

Paso 3.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{3}{2}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 3^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 3.2.3.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 3.2.3.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 3^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.3.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 3^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 3^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.3.1.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.3.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 3^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.3.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = \pm 3^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.3.1.2

Simplifica.

$x = \pm 3^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 3^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 3^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 3^{\frac{3}{2}}, - 3^{\frac{3}{2}}$

Paso 4

Establece $x^{\frac{2}{3}} - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x^{\frac{2}{3}} - 2$ igual a $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} - 2 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x^{\frac{2}{3}} - 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{\frac{2}{3}} = 2$

Paso 4.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{3}{2}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.3.1

Simplifica ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 4.2.3.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 4.2.3.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.3.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.3.1.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.3.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.3.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.3.1.2

Simplifica.

$x = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2^{\frac{3}{2}}, - 2^{\frac{3}{2}}$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{\frac{2}{3}} - 3) (x^{\frac{2}{3}} - 2) = 0$ verdadera.

$x = 3^{\frac{3}{2}}, - 3^{\frac{3}{2}}, 2^{\frac{3}{2}}, - 2^{\frac{3}{2}}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = 3^{\frac{3}{2}}, - 3^{\frac{3}{2}}, 2^{\frac{3}{2}}, - 2^{\frac{3}{2}}$

Forma decimal:

$x = 5.19615242 \dots, - 5.19615242 \dots, 2.82842712 \dots, - 2.82842712 \dots$