Precálculo Ejemplos

$5 x^{3} + 7 x^{2} - 11 x + 3 = 0$

Paso 1

Factoriza $5 x^{3} + 7 x^{2} - 11 x + 3$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 5$

Paso 1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.2, \pm 3, \pm 0.6$

Paso 1.3

Sustituye $0.6$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $0.6$ es una raíz del polinomio.

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Paso 1.3.1

Sustituye $0.6$ en el polinomio.

$5 \cdot {0.6}^{3} + 7 \cdot {0.6}^{2} - 11 \cdot 0.6 + 3$

Paso 1.3.2

Eleva $0.6$ a la potencia de $3$ .

$5 \cdot 0.216 + 7 \cdot {0.6}^{2} - 11 \cdot 0.6 + 3$

Paso 1.3.3

Multiplica $5$ por $0.216$ .

$1.08 + 7 \cdot {0.6}^{2} - 11 \cdot 0.6 + 3$

Paso 1.3.4

Eleva $0.6$ a la potencia de $2$ .

$1.08 + 7 \cdot 0.36 - 11 \cdot 0.6 + 3$

Paso 1.3.5

Multiplica $7$ por $0.36$ .

$1.08 + 2.52 - 11 \cdot 0.6 + 3$

Paso 1.3.6

Suma $1.08$ y $2.52$ .

$3.6 - 11 \cdot 0.6 + 3$

Paso 1.3.7

Multiplica $- 11$ por $0.6$ .

$3.6 - 6.6 + 3$

Paso 1.3.8

Resta $6.6$ de $3.6$ .

$- 3 + 3$

Paso 1.3.9

Suma $- 3$ y $3$ .

$0$

Paso 1.4

Como $0.6$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $5 x - 3$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{5 x^{3} + 7 x^{2} - 11 x + 3}{5 x - 3}$

Paso 1.5

Divide $5 x^{3} + 7 x^{2} - 11 x + 3$ por $5 x - 3$ .

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Paso 1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$5 x$

$3$

$5 x^{3}$

$7 x^{2}$

$11 x$

$3$

Paso 1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $5 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $5 x$ .

					$x^{2}$
	$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$

Paso 1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			+	$5 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Paso 1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $5 x^{3} - 3 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Paso 1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$

Paso 1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$

Paso 1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $10 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $5 x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$

Paso 1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$6 x$

Paso 1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $10 x^{2} - 6 x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$6 x$

Paso 1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$5 x$

Paso 1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$5 x$	+	$3$

Paso 1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 5 x$ por el término de mayor orden en el divisor $5 x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$5 x$	+	$3$

Paso 1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$5 x$	+	$3$
							-	$5 x$	+	$3$

Paso 1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 5 x + 3$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$5 x$	+	$3$
							+	$5 x$	-	$3$

Paso 1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$5 x$	+	$3$
							+	$5 x$	-	$3$
										$0$

Paso 1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} + 2 x - 1$

Paso 1.6

Escribe $5 x^{3} + 7 x^{2} - 11 x + 3$ como un conjunto de factores.

$(5 x - 3) (x^{2} + 2 x - 1) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$5 x - 3 = 0$

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Paso 3

Establece $5 x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $5 x - 3$ igual a $0$ .

$5 x - 3 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $5 x - 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$5 x = 3$

Paso 3.2.2

Divide cada término en $5 x = 3$ por $5$ y simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Divide cada término en $5 x = 3$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{3}{5}$

Paso 3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{5} = \frac{3}{5}$

Paso 3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{5}$

Paso 4

Establece $x^{2} + 2 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x^{2} + 2 x - 1$ igual a $0$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 2$ y $c = - 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3

Simplifica.

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Paso 4.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.3.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 4.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.3

Suma $4$ y $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.4

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 4.2.3.1.4.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 4.2.3.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

Paso 4.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(5 x - 3) (x^{2} + 2 x - 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{3}{5}, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{3}{5}, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Forma decimal:

$x = 0.6, 0.41421356 \dots, - 2.41421356 \dots$