Precálculo Ejemplos

$\log_{5} (x - 7) + \log_{5} (x - 4) - \log_{5} (x) = 1$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} ((x - 7) (x - 4)) - \log_{5} (x) = 1$

Paso 1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{(x - 7) (x - 4)}{x}) = 1$

Paso 2

Reescribe $\log_{5} (\frac{(x - 7) (x - 4)}{x}) = 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{1} = \frac{(x - 7) (x - 4)}{x}$

Paso 3

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$(x - 7) (x - 4) = 5 (x)$

Paso 4

Multiplica $5$ por $x$ .

$(x - 7) (x - 4) = 5 x$

Paso 5

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.1

Resta $5 x$ de ambos lados de la ecuación.

$(x - 7) (x - 4) - 5 x = 0$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Expande $(x - 7) (x - 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (x - 4) - 7 (x - 4) - 5 x = 0$

Paso 5.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 4 - 7 (x - 4) - 5 x = 0$

Paso 5.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 4 - 7 x - 7 \cdot - 4 - 5 x = 0$

Paso 5.2.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 4 - 7 x - 7 \cdot - 4 - 5 x = 0$

Paso 5.2.2.1.2

Mueve $- 4$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} - 4 \cdot x - 7 x - 7 \cdot - 4 - 5 x = 0$

Paso 5.2.2.1.3

Multiplica $- 7$ por $- 4$ .

$x^{2} - 4 x - 7 x + 28 - 5 x = 0$

Paso 5.2.2.2

Resta $7 x$ de $- 4 x$ .

$x^{2} - 11 x + 28 - 5 x = 0$

Paso 5.3

Resta $5 x$ de $- 11 x$ .

$x^{2} - 16 x + 28 = 0$

Paso 6

Factoriza $x^{2} - 16 x + 28$ con el método AC.

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Paso 6.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $28$ y cuya suma es $- 16$ .

$- 14, - 2$

Paso 6.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 14) (x - 2) = 0$

Paso 7

Simplifica $(x - 14) (x - 2)$ .

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Paso 7.1

Expande $(x - 14) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 7.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (x - 2) - 14 (x - 2) = 0$

Paso 7.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 14 (x - 2) = 0$

Paso 7.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 14 x - 14 \cdot - 2 = 0$

Paso 7.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 2 - 14 x - 14 \cdot - 2 = 0$

Paso 7.2.1.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} - 2 \cdot x - 14 x - 14 \cdot - 2 = 0$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $- 14$ por $- 2$ .

$x^{2} - 2 x - 14 x + 28 = 0$

Paso 7.2.2

Resta $14 x$ de $- 2 x$ .

$x^{2} - 16 x + 28 = 0$

Paso 8

Factoriza $x^{2} - 16 x + 28$ con el método AC.

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Paso 8.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $28$ y cuya suma es $- 16$ .

$- 14, - 2$

Paso 8.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 14) (x - 2) = 0$

Paso 9

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 14 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 10

Establece $x - 14$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 10.1

Establece $x - 14$ igual a $0$ .

$x - 14 = 0$

Paso 10.2

Suma $14$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 14$

Paso 11

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 11.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 12

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 14) (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = 14, 2$

Paso 13

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{5} (x - 7) + \log_{5} (x - 4) - \log_{5} (x) = 1$ sea verdadera.

$x = 14$