Precálculo Ejemplos

$5^{7 x + 1} = 7^{x - 5}$

Paso 1

Resta el logaritmo de ambos lados de la ecuación.

$\ln (5^{7 x + 1}) = \ln (7^{x - 5})$

Paso 2

Expande $\ln (5^{7 x + 1})$ ; para ello, mueve $7 x + 1$ fuera del logaritmo.

$(7 x + 1) \ln (5) = \ln (7^{x - 5})$

Paso 3

Expande $\ln (7^{x - 5})$ ; para ello, mueve $x - 5$ fuera del logaritmo.

$(7 x + 1) \ln (5) = (x - 5) \ln (7)$

Paso 4

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 4.1

Simplifica $(7 x + 1) \ln (5)$ .

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Paso 4.1.1

Reescribe.

$0 + 0 + (7 x + 1) \ln (5) = (x - 5) \ln (7)$

Paso 4.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$(7 x + 1) \ln (5) = (x - 5) \ln (7)$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$7 x \ln (5) + 1 \ln (5) = (x - 5) \ln (7)$

Paso 4.1.4

Multiplica $\ln (5)$ por $1$ .

$7 x \ln (5) + \ln (5) = (x - 5) \ln (7)$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$7 x \ln (5) + \ln (5) = x \ln (7) - 5 \ln (7)$

Paso 4.3

Resta $x \ln (7)$ de ambos lados de la ecuación.

$7 x \ln (5) + \ln (5) - x \ln (7) = - 5 \ln (7)$

Paso 4.4

Resta $\ln (5)$ de ambos lados de la ecuación.

$7 x \ln (5) - x \ln (7) = - 5 \ln (7) - \ln (5)$

Paso 4.5

Factoriza $x$ de $7 x \ln (5) - x \ln (7)$ .

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Paso 4.5.1

Factoriza $x$ de $7 x \ln (5)$ .

$x (7 \ln (5)) - x \ln (7) = - 5 \ln (7) - \ln (5)$

Paso 4.5.2

Factoriza $x$ de $- x \ln (7)$ .

$x (7 \ln (5)) + x (- 1 \ln (7)) = - 5 \ln (7) - \ln (5)$

Paso 4.5.3

Factoriza $x$ de $x (7 \ln (5)) + x (- 1 \ln (7))$ .

$x (7 \ln (5) - 1 \ln (7)) = - 5 \ln (7) - \ln (5)$

Paso 4.6

Reescribe $- 1 \ln (7)$ como $- \ln (7)$ .

$x (7 \ln (5) - \ln (7)) = - 5 \ln (7) - \ln (5)$

Paso 4.7

Divide cada término en $x (7 \ln (5) - \ln (7)) = - 5 \ln (7) - \ln (5)$ por $7 \ln (5) - \ln (7)$ y simplifica.

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Paso 4.7.1

Divide cada término en $x (7 \ln (5) - \ln (7)) = - 5 \ln (7) - \ln (5)$ por $7 \ln (5) - \ln (7)$ .

$\frac{x (7 \ln (5) - \ln (7))}{7 \ln (5) - \ln (7)} = \frac{- 5 \ln (7)}{7 \ln (5) - \ln (7)} + \frac{- \ln (5)}{7 \ln (5) - \ln (7)}$

Paso 4.7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.7.2.1

Cancela el factor común de $7 \ln (5) - \ln (7)$ .

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Paso 4.7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (7 \ln (5) - \ln (7))}{7 \ln (5) - \ln (7)} = \frac{- 5 \ln (7)}{7 \ln (5) - \ln (7)} + \frac{- \ln (5)}{7 \ln (5) - \ln (7)}$

Paso 4.7.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \ln (7)}{7 \ln (5) - \ln (7)} + \frac{- \ln (5)}{7 \ln (5) - \ln (7)}$

Paso 4.7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.7.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{- 5 \ln (7) - \ln (5)}{7 \ln (5) - \ln (7)}$

Paso 4.7.3.2

Factoriza $- 1$ de $- 5 \ln (7)$ .

$x = \frac{- (5 \ln (7)) - \ln (5)}{7 \ln (5) - \ln (7)}$

Paso 4.7.3.3

Factoriza $- 1$ de $- \ln (5)$ .

$x = \frac{- (5 \ln (7)) - \ln (5)}{7 \ln (5) - \ln (7)}$

Paso 4.7.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (5 \ln (7)) - \ln (5)$ .

$x = \frac{- (5 \ln (7) + \ln (5))}{7 \ln (5) - \ln (7)}$

Paso 4.7.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 4.7.3.5.1

Reescribe $- (5 \ln (7) + \ln (5))$ como $- 1 (5 \ln (7) + \ln (5))$ .

$x = \frac{- 1 (5 \ln (7) + \ln (5))}{7 \ln (5) - \ln (7)}$

Paso 4.7.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{5 \ln (7) + \ln (5)}{7 \ln (5) - \ln (7)}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{5 \ln (7) + \ln (5)}{7 \ln (5) - \ln (7)}$

Forma decimal:

$x = - 1.21660941 \dots$