Precálculo Ejemplos

$\cos (\arcsin (\frac{x - h}{r}))$

Paso 1

Escribe la expresión usando exponentes.

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Paso 1.1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x - h}{r})}^{2}}, \frac{x - h}{r})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x - h}{r})}^{2}}, 0)$ y el origen. Entonces $\arcsin (\frac{x - h}{r})$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x - h}{r})}^{2}}, \frac{x - h}{r})$ . Por lo tanto, $\cos (\arcsin (\frac{x - h}{r}))$ es $\sqrt{1 - {(\frac{x - h}{r})}^{2}}$ .

$\sqrt{1 - {(\frac{x - h}{r})}^{2}}$

Paso 1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{x - h}{r})}^{2}}$

Paso 2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \frac{x - h}{r}$ .

$\sqrt{(1 + \frac{x - h}{r}) (1 - \frac{x - h}{r})}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\sqrt{(\frac{r}{r} + \frac{x - h}{r}) (1 - \frac{x - h}{r})}$

Paso 3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{r + x - h}{r} (1 - \frac{x - h}{r})}$

Paso 3.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\sqrt{\frac{r + x - h}{r} (\frac{r}{r} - \frac{x - h}{r})}$

Paso 3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{r + x - h}{r} \cdot \frac{r - (x - h)}{r}}$

Paso 3.5

Reescribe $\frac{r - (x - h)}{r}$ en forma factorizada.

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Paso 3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{\frac{r + x - h}{r} \cdot \frac{r - x - - h}{r}}$

Paso 3.5.2

Multiplica $- - h$ .

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Paso 3.5.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\sqrt{\frac{r + x - h}{r} \cdot \frac{r - x + 1 h}{r}}$

Paso 3.5.2.2

Multiplica $h$ por $1$ .

$\sqrt{\frac{r + x - h}{r} \cdot \frac{r - x + h}{r}}$

Paso 4

Multiplica $\frac{r + x - h}{r}$ por $\frac{r - x + h}{r}$ .

$\sqrt{\frac{(r + x - h) (r - x + h)}{r \cdot r}}$

Paso 5

Multiplica $r$ por $r$ .

$\sqrt{\frac{(r + x - h) (r - x + h)}{r^{2}}}$

Paso 6

Reescribe $\frac{(r + x - h) (r - x + h)}{r^{2}}$ como ${(\frac{1}{r})}^{2} ((r + x - h) (r - x + h))$ .

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Paso 6.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $(r + x - h) (r - x + h)$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((r + x - h) (r - x + h))}{r^{2}}}$

Paso 6.2

Factoriza la potencia perfecta $r^{2}$ de $r^{2}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((r + x - h) (r - x + h))}{r^{2} \cdot 1}}$

Paso 6.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} ((r + x - h) (r - x + h))}{r^{2} \cdot 1}$ .

$\sqrt{{(\frac{1}{r})}^{2} ((r + x - h) (r - x + h))}$

Paso 7

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{1}{r} \sqrt{(r + x - h) (r - x + h)}$

Paso 8

Combina $\frac{1}{r}$ y $\sqrt{(r + x - h) (r - x + h)}$ .

$\frac{\sqrt{(r + x - h) (r - x + h)}}{r}$