Precálculo Ejemplos

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 14 x + 49}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.1.1

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 14 x + 7^{2}}$

Paso 1.1.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$14 x = 2 \cdot x \cdot 7$

Paso 1.1.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 7 + 7^{2}}$

Paso 1.1.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 7$ .

$\frac{x^{2}}{{(x + 7)}^{2}}$

Paso 1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{{(x + 7)}^{2}}$

Paso 1.3

$\frac{A}{{(x + 7)}^{2}} + \frac{B}{x + 7}$

Paso 1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es ${(x + 7)}^{2}$ .

$\frac{x^{2} {(x + 7)}^{2}}{{(x + 7)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 7)}^{2}}{{(x + 7)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 7)}^{2}}{x + 7}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de ${(x + 7)}^{2}$ .

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} {(x + 7)}^{2}}{{(x + 7)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 7)}^{2}}{{(x + 7)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 7)}^{2}}{x + 7}$

Paso 1.5.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{(A) {(x + 7)}^{2}}{{(x + 7)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 7)}^{2}}{x + 7}$

Paso 1.6

Simplifica cada término.

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Paso 1.6.1

Cancela el factor común de ${(x + 7)}^{2}$ .

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Paso 1.6.1.1

Cancela el factor común.

$x^{2} = \frac{A {(x + 7)}^{2}}{{(x + 7)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 7)}^{2}}{x + 7}$

Paso 1.6.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$x^{2} = A + \frac{(B) {(x + 7)}^{2}}{x + 7}$

Paso 1.6.2

Cancela el factor común de ${(x + 7)}^{2}$ y $x + 7$ .

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Paso 1.6.2.1

Factoriza $x + 7$ de $(B) {(x + 7)}^{2}$ .

$x^{2} = A + \frac{(x + 7) (B (x + 7))}{x + 7}$

Paso 1.6.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.6.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$x^{2} = A + \frac{(x + 7) (B (x + 7))}{(x + 7) \cdot 1}$

Paso 1.6.2.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} = A + \frac{(x + 7) (B (x + 7))}{(x + 7) \cdot 1}$

Paso 1.6.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} = A + \frac{B (x + 7)}{1}$

Paso 1.6.2.2.4

Divide $B (x + 7)$ por $1$ .

$x^{2} = A + B (x + 7)$

Paso 1.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} = A + B x + B \cdot 7$

Paso 1.6.4

Mueve $7$ a la izquierda de $B$ .

$x^{2} = A + B x + 7 B$

Paso 1.7

Reordena $A$ y $B x$ .

$x^{2} = B x + A + 7 B$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = B$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + 7 B$

Paso 2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = B$

$0 = A + 7 B$

$0 = B$

$0 = A + 7 B$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $B = 0$ .

$B = 0$

$0 = A + 7 B$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $B$ por $0$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $0 = A + 7 B$ por $0$ .

$0 = A + 7 (0)$

$B = 0$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $A + 7 (0)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Multiplica $7$ por $0$ .

$0 = A + 0$

$B = 0$

Paso 3.2.2.1.2

Suma $A$ y $0$ .

$0 = A$

$B = 0$

$0 = A$

$B = 0$

$0 = A$

$B = 0$

$0 = A$

$B = 0$

Paso 3.3

Reescribe la ecuación como $A = 0$ .

$A = 0$

$B = 0$

Paso 3.4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$A = 0 B = 0$

Paso 3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = 0, B = 0$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{{(x + 7)}^{2}} + \frac{B}{x + 7}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{0}{{(x + 7)}^{2}} + \frac{0}{x + 7}$