Precálculo Ejemplos

$\frac{1}{x^{2} - 1}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1

Factoriza la fracción.

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Paso 1.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} - 1^{2}}$

Paso 1.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Paso 1.3

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

Paso 1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.6

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.6.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.1

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 1.7.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.7.1.2

Divide $(A) (x - 1)$ por $1$ .

$1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.7.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $A$ .

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.7.4

Reescribe $- 1 A$ como $- A$ .

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.7.5

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 1.7.5.1

Cancela el factor común.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.7.5.2

Divide $(B) (x + 1)$ por $1$ .

$1 = A x - A + (B) (x + 1)$

Paso 1.7.6

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A x - A + B x + B \cdot 1$

Paso 1.7.7

Multiplica $B$ por $1$ .

$1 = A x - A + B x + B$

Paso 1.8

Mueve $- A$ .

$1 = A x + B x - A + B$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + B$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = - 1 A + B$

Paso 2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Resuelve $A$ en $0 = A + B$ .

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Paso 3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

Paso 3.1.2

Resta $B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $- B$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $1 = - 1 A + B$ por $- B$ .

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $- 1 (- B) + B$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Multiplica $- 1 (- B)$ .

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Paso 3.2.2.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

Paso 3.2.2.1.1.2

Multiplica $B$ por $1$ .

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

Paso 3.2.2.1.2

Suma $B$ y $B$ .

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

Paso 3.3

Resuelve $B$ en $1 = 2 B$ .

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $2 B = 1$ .

$2 B = 1$

$A = - B$

Paso 3.3.2

Divide cada término en $2 B = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.3.2.1

Divide cada término en $2 B = 1$ por $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Paso 3.3.2.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $\frac{1}{2}$ en cada ecuación.

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Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = - B$ por $\frac{1}{2}$ .

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $\frac{1}{2}$ .

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Paso 3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{- \frac{1}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$