Precálculo Ejemplos

$\frac{\tan (x)}{1 - \cos (x)} = \csc (x) (1 + \sec (x))$

Paso 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\frac{\tan (x)}{1 - \cos (x)}$

Paso 2

Multiplica $\frac{\tan (x)}{1 - \cos (x)}$ por $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\tan (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Paso 3

Combinar.

$\frac{\tan (x) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\tan (x) \cdot 1 + \tan (x) \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Paso 4.2

Multiplica $\tan (x)$ por $1$ .

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Paso 5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.1

Expande $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{1 (1 + \cos (x)) - \cos (x) (1 + \cos (x))}$

Paso 5.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) - \cos (x) (1 + \cos (x))}$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) \cos (x)}$

Paso 5.2

Simplifica y combina los términos similares.

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Paso 6

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Paso 7

Convierte a senos y cosenos.

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Paso 7.1

Escribe $\tan (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \tan (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Paso 7.2

Escribe $\tan (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.1

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 8.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Paso 8.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Paso 8.1.2

Factoriza $\sin (x)$ de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x)$ .

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Paso 8.1.2.1

Factoriza $\sin (x)$ de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Paso 8.1.2.2

Multiplica por $1$ .

$\frac{\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1}{{\sin (x)}^{2}}$

Paso 8.1.2.3

Factoriza $\sin (x)$ de $\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1$ .

$\frac{\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} + 1)}{{\sin (x)}^{2}}$

Paso 8.1.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)})}{{\sin (x)}^{2}}$

Paso 8.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sin (x) \frac{1 + \cos (x)}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Paso 8.2

Combina $\sin (x)$ y $\frac{1 + \cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Paso 8.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Paso 8.4

Combinar.

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x)) \cdot 1}{\cos (x) {\sin (x)}^{2}}$

Paso 8.5

Cancela el factor común de $\sin (x)$ y ${\sin (x)}^{2}$ .

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Paso 8.5.1

Factoriza $\sin (x)$ de $\sin (x) (1 + \cos (x)) \cdot 1$ .

$\frac{\sin (x) ((1 + \cos (x)) \cdot 1)}{\cos (x) {\sin (x)}^{2}}$

Paso 8.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.5.2.1

Factoriza $\sin (x)$ de $\cos (x) {\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{\sin (x) ((1 + \cos (x)) \cdot 1)}{\sin (x) (\cos (x) \sin (x))}$

Paso 8.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\sin (x) ((1 + \cos (x)) \cdot 1)}{\sin (x) (\cos (x) \sin (x))}$

Paso 8.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(1 + \cos (x)) \cdot 1}{\cos (x) \sin (x)}$

Paso 8.6

Multiplica $1 + \cos (x)$ por $1$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Paso 9

Ahora considera el lado derecho de la ecuación.

$\csc (x) (1 + \sec (x))$

Paso 10

Convierte a senos y cosenos.

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Paso 10.1

Aplica la identidad recíproca a $\csc (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} (1 + \sec (x))$

Paso 10.2

Aplica la identidad recíproca a $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} (1 + \frac{1}{\cos (x)})$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot 1 + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 11.2

Multiplica $\frac{1}{\sin (x)}$ por $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 11.3

Multiplica $\frac{1}{\sin (x)}$ por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x) \cos (x)}$

Paso 12

Suma fracciones.

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Paso 12.1

Para escribir $\frac{1}{\sin (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x) \cos (x)}$

Paso 12.2

Multiplica $\frac{1}{\sin (x)}$ por $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) \cos (x)} + \frac{1}{\sin (x) \cos (x)}$

Paso 12.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\cos (x) + 1}{\sin (x) \cos (x)}$

Paso 13

Reordena los términos.

$\frac{1 + \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Paso 14

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{\tan (x)}{1 - \cos (x)} = \csc (x) (1 + \sec (x))$ es una identidad